Chủ đề này có 3 trả lời

[HUYVAN]

Gọi hai đa thức $P, Q$ với hệ số nguyên là đồng dạng nếu như các hệ số của $P$ là một hoán vị của các hệ số $Q$. Cm:
$1$. Nếu $P, Q$ đồng dạng thì $P(2007)-Q(2007)$ là một số chẵn.
$2$. Có tồn tại hay không một số nguyên $k>2$ sao cho $k|P(2007)-Q(2007)$, với mọi đa thức đồng dạng $P, Q$

[LvanhTuan]

Sử dụng kq sau :
Nếu $P(x) \in z[x] $ thì : $(a-b)|P(a)-P(b)$ với mọi $a \neq b $.
Từ gt $P;Q$ là 2 đa thức 'đồng dạng' nên :
$2|P(2007)-P(1);2|Q(2007)-Q(1)$ $ \Rightarrow 2|P(2007)-Q(2007) $.
Câu b
Chỉ cần chọn 2 đa thức sau là được :
$P(x)= x^{n}-1;Q(x)=1- x^{n} $.
Và bổ đề sau : $ (2007^{n}-1;2007^{m}-1)=1 $.

[TAITATO]

Câu b chỉ cần chọn số k = 2006 là được.

[PrT]

Tập tất cả các số k như thế là $k|2006$ . Đây chính là bài thi Italia_2007.