Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.
$71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.
#1
Đã gửi 24-05-2007 - 18:47
- LNH và nhungvienkimcuong thích
#2
Đã gửi 03-02-2015 - 14:36
Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.
Thử xét trường hợp $n=3$, tức là tập $S$ gồm các đa thức $P(x)$ có dạng $ax^3+bx^2+cx+d$ (trong đó $a,b,c,d\in \left \{ 1;2;3;4;5;6 \right \}$)
Ta chỉ cần xét trường hợp $k=2$.
Dễ thấy rằng :
+ Nếu $d$ chẵn và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $1$ hoặc cả $3$ hệ số đó đều chẵn thì mọi số hạng trong dãy $P(1);P(2);...$ đều là số nguyên dương chẵn, tức là chúng không nguyên tố cùng nhau với $k$, nên trong TH này $P(x)$ không phải là đa thức "đẹp"
+ Nếu $d$ lẻ và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $2$ hệ số chẵn thì mọi số hạng $P(m)$ trong dãy $P(1);P(2);...$ (với $m$ lẻ) đều là số nguyên dương chẵn, tức là chúng không nguyên tố cùng nhau với $k$, nên trong TH này $P(x)$ không phải là đa thức "đẹp"
+ Tính số đa thức thuộc $S$ thỏa mãn $d$ chẵn và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $1$ hệ số chẵn (tạm gọi là $M$)
Chọn giá trị cho $d$ : $3$ cách
Chọn vị trí cho hệ số chẵn khác $d$ : $3$ cách.
Chọn giá trị cho hệ số chẵn : $3$ cách
Chọn giá trị cho 2 hệ số lẻ : $3^2$ cách
$\Rightarrow M=3.3.3.3^2=243$
+ Tính số đa thức thuộc $S$ thỏa mãn cả $4$ hệ số đều chẵn (tạm gọi là $N$)
$N=3^4=81$
+ Tính số đa thức thuộc $S$ thỏa mãn $d$ lẻ và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $2$ hệ số chẵn (tạm gọi là $P$)
Chọn giá trị cho $d$ : $3$ cách
Chọn vị trí cho 2 hệ số chẵn : $3$ cách.
Chọn giá trị cho hệ số lẻ khác $d$ : $3$ cách
Chọn giá trị cho 2 hệ số chẵn : $3^2$ cách
$\Rightarrow P=3.3.3.3^2=243$
$\Rightarrow$ số đa thức "không đẹp" thuộc $S$ $\geqslant M+N+P=243+81+243=567$
Số đa thức thuộc $S$ là $6^4=1296$
$\Rightarrow$ tỷ lệ đa thức "đẹp" thuộc $S$ là $\leqslant \frac{1296-567}{1296}=56,25$% $< 71$%
---> đề bài sai.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-02-2015 - 17:48
- hoctrocuaZel và nhungvienkimcuong thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 06-02-2015 - 18:23
+ Nếu $d$ lẻ và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $2$ hệ số chẵn thì mọi số hạng $P(m)$ trong dãy $P(1);P(2);...$ (với $m$ lẻ) đều là số nguyên dương chẵn, tức là chúng không nguyên tố cùng nhau với $k$, nên trong TH này $P(x)$ không phải là đa thức "đẹp"
Trong trường hợp này thì P vẫn không suy ra được là không đẹp vì định nghĩa đẹp ở đây là có vô số số hạng trong dãy nguyên tố cùng nhau với 2. Dù có vô số số không nguyên tố cùng nhau với 2 thì vẫn không suy ra được P không đẹp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 06-02-2015 - 18:24
- E. Galois và chanhquocnghiem thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh