Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

i) $\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000$ ii) $ \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 ngtl

ngtl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 28-05-2007 - 14:33

Cho 100 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
i) $\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000$
ii) $ \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300$
Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số có tổng không nhỏ hơn 100.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-05-2013 - 16:36

Càng học càng thấy mình ngu.
Không học lại thấy thông minh hơn người.

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-05-2013 - 21:55

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 28/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 14-06-2013 - 17:27

Cho 100 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
i) $\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000$
ii) $ \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300$
Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số có tổng không nhỏ hơn 100.

Note: lời giải của em có hỗ trợ từ 1 người bạn và có hỗ trợ từ công nghệ.
 
Không mất tổng quát, giả sử $x_{i+1} \ge x_i$ và ta sẽ đi chứng minh $x_{100} + x_{99} + x_{98} \ge 100$.
Giả sử đầu bài sai, tức $\not\exists 3$ số có tổng $\ge 100 \implies S = x_{100} + x_{99} + x_{98} < 100\ \text{(iii)}$
Gọi $x_j \ge x_i \ge t \ge 0$
Xét $(x_i-t)^2+(x_j+t)^2 = x_i^2+x_j^2+2t(x_j-x_i+t) \ge x_i^2+x_j^2$ (vì $x_j - x_i + t \ge 0$)
$\implies$ nếu thay $x_i -t \to x_i,\ x_j +t \to x_j$ thì vẫn cho tổng $2$ số không đổi nhưng tổng bình phương tăng lên.
Ta cũng có thể thay $x_{100}, x_{99}, x_{98}$ bằng $a = \frac S3$ là trung bình cộng của $3$ số đó mà không ảnh hưởng tới các điều kiện bài toán. (với $a < \frac {100}{3}$)
 
Phần thuật toán:
 



$\boxed{1.}$ Gán $i = \min,\ j = \max$ (lưu ý: $0 < x_i, x_j < a$)

$\boxed{2.}$ Nếu $i \ge j \to \boxed {\text{stop}}$

$\boxed{3.}$ Còn không, $t = \min \{x_i, a-x_j\},\ x_i := x_i - t,\ x_j := x_j + t$. Như nói ở trên, khi thế $x_i -t \to x_i,\ x_j +t \to x_j$ thì vẫn cho tổng $2$ số không đổi nhưng tổng bình phương tăng lên do đó, ta được dãy mới và cũng cũng thoả điều kiện (i), (ii), (iii)

$\boxed{4.}$ Quay lại bước $\boxed 1$

 

Phần Output, và giải: 
Sau khi vòng lặp kết thúc, ta thu được: $0 = x_1 = x_2 =\ldots = x_{i-1}< x_i \le x_{i+1} = x_{i+2} = \ldots = x_{100} = a$
$\implies x_i + (100 - i)\cdot a < 300, x_i^2 + (100-i)\cdot a^2 > 10^4, 0 < x_i \le a < \frac {100} 3$
$\implies 10^4 - ab > (300 - b)\cdot a = ca^2 > 10^4 - b$ (với $b = x_i,\ c = 100 - i$)
$\implies b = 0 \lor a<1$
$\boxed{\text{TH1:}\ a<1}\implies 10^4 < b^2 + ca^2 < b+ca < 300 \implies$ vô lí
$\boxed{\text{TH2:}\ b=0} \implies c\cdot 10^4 < (ac)^2 < (300)^2 \implies c < 9 \implies 9a^2 > ca^2 > 10^4$
$\implies 3a > 100 \iff a > \frac {100} 3 \implies$ mâu thuẫn
Vậy điều giả sử là sai, đầu bài là đúng. Bài toán được chứng minh

 

Cách khác:

Giả sử $x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_{100}, S = x_1 + x_2 + x_3$

$$\implies x_1^2+x_2^2+x_3^2+ \ldots +x_{100}^2\\ \le x_1^2+x_2^2+x_3^2+\left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3^2+\left(300-\left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3\right)^2 \\ \le (S-2x_3)^2+2x_3^2 + \left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3^2+\left(300-\left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3\right)^2$$

 

Đi tắm đã, lúc nào em làm tiếp, bây giờ em "hơi" lười


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 14-06-2013 - 17:30

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4 Valar Morghulis

Valar Morghulis

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The Free City of Braavos

Đã gửi 28-06-2013 - 15:16

Đây là một bài ứng dụng đơn giản của nguyên lý cực hạn.

Giả sử 100 số đó là $a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{100} >0$.

Nếu như $a_{1} \geq 100$, thì $a_{1} + a_{2} + a_{3} > 100$.

Do đó, ta chỉ cần chứng minh với $a_{1} <100$.

Khi đó $100 - a_{1} >0, 100 - a_{2} >0, a_{1} -a_{3}\geq 0, a_{2} - a_{3} \geq 0$.

Vì vậy:

$100(a_{1} + a_{2} + a_{3}) \geq 100(a_{1} + a_{2} + a_{3}) - (100 - a_{1})(a_{1} -a_{3}) - (100 - a_{2})(a_{2} - a_{3}) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}( 300 - a_{1} - a_{2}) > a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}( a_{3} + a_{4} + ... + a_{100}) \geq a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + ... + a_{100}^{2} > 10000.$

Suy ra, $a_{1} + a_{2} + a_{3} >100$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



#5 holmes2013

holmes2013

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Đã gửi 28-06-2013 - 16:09

Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}$

Trường hợp 1: $a_{1}\geq 100$

                      $\Rightarrow a_{1} + a_{2} + a_{3} \geq 100$

 

Trường hợp 2: $a_{1} \leq 100$

        Ta có:   $100\left ( a_{1} + a_{2} + a_{3}\right ) \geq 100\left ( a_{1} + a_{2} + a_{3}\right )-\left ( 100 - a_{1} \right )\left ( a_{1}-a_{3} \right ) - \left ( 100 - a_{2} \right )\left ( a_{2} -a_{3}\right )$

                    $= a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}\left ( 300 - a_{1} - a_{2} \right )$

                    $\geq a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}\left ( a_{3} + a_{4} + ... + a_{100}\right )$

                    $\geq a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{100}^{2} \geq 10000$

            $\Rightarrow a_{1} + a_{2} + a_{3}\geq 100$



#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 21:46

Chấm bài:

Valar Morghulis: 50 điểm

 ilovelife: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh