Cho 100 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
i) $\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000$
ii) $ \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300$
Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số có tổng không nhỏ hơn 100.
Note: lời giải của em có hỗ trợ từ 1 người bạn và có hỗ trợ từ công nghệ.
Không mất tổng quát, giả sử $x_{i+1} \ge x_i$ và ta sẽ đi chứng minh $x_{100} + x_{99} + x_{98} \ge 100$.
Giả sử đầu bài sai, tức $\not\exists 3$ số có tổng $\ge 100 \implies S = x_{100} + x_{99} + x_{98} < 100\ \text{(iii)}$
Gọi $x_j \ge x_i \ge t \ge 0$
Xét $(x_i-t)^2+(x_j+t)^2 = x_i^2+x_j^2+2t(x_j-x_i+t) \ge x_i^2+x_j^2$ (vì $x_j - x_i + t \ge 0$)
$\implies$ nếu thay $x_i -t \to x_i,\ x_j +t \to x_j$ thì vẫn cho tổng $2$ số không đổi nhưng tổng bình phương tăng lên.
Ta cũng có thể thay $x_{100}, x_{99}, x_{98}$ bằng $a = \frac S3$ là trung bình cộng của $3$ số đó mà không ảnh hưởng tới các điều kiện bài toán. (với $a < \frac {100}{3}$)
Phần thuật toán:
$\boxed{1.}$ Gán $i = \min,\ j = \max$ (lưu ý: $0 < x_i, x_j < a$)
$\boxed{2.}$ Nếu $i \ge j \to \boxed {\text{stop}}$
$\boxed{3.}$ Còn không, $t = \min \{x_i, a-x_j\},\ x_i := x_i - t,\ x_j := x_j + t$. Như nói ở trên, khi thế $x_i -t \to x_i,\ x_j +t \to x_j$ thì vẫn cho tổng $2$ số không đổi nhưng tổng bình phương tăng lên do đó, ta được dãy mới và cũng cũng thoả điều kiện (i), (ii), (iii)
$\boxed{4.}$ Quay lại bước $\boxed 1$
Phần Output, và giải:
Sau khi vòng lặp kết thúc, ta thu được: $0 = x_1 = x_2 =\ldots = x_{i-1}< x_i \le x_{i+1} = x_{i+2} = \ldots = x_{100} = a$
$\implies x_i + (100 - i)\cdot a < 300, x_i^2 + (100-i)\cdot a^2 > 10^4, 0 < x_i \le a < \frac {100} 3$
$\implies 10^4 - ab > (300 - b)\cdot a = ca^2 > 10^4 - b$ (với $b = x_i,\ c = 100 - i$)
$\implies b = 0 \lor a<1$
$\boxed{\text{TH1:}\ a<1}\implies 10^4 < b^2 + ca^2 < b+ca < 300 \implies$ vô lí
$\boxed{\text{TH2:}\ b=0} \implies c\cdot 10^4 < (ac)^2 < (300)^2 \implies c < 9 \implies 9a^2 > ca^2 > 10^4$
$\implies 3a > 100 \iff a > \frac {100} 3 \implies$ mâu thuẫn
Vậy điều giả sử là sai, đầu bài là đúng. Bài toán được chứng minh
Cách khác:
Giả sử $x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_{100}, S = x_1 + x_2 + x_3$
$$\implies x_1^2+x_2^2+x_3^2+ \ldots +x_{100}^2\\ \le x_1^2+x_2^2+x_3^2+\left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3^2+\left(300-\left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3\right)^2 \\ \le (S-2x_3)^2+2x_3^2 + \left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3^2+\left(300-\left\lfloor\frac{300-S}{x_3}\right\rfloor x_3\right)^2$$
Đi tắm đã, lúc nào em làm tiếp, bây giờ em "hơi" lười
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 14-06-2013 - 17:30