Chủ đề này có 8 trả lời

[MyLoveIs4Ever]

CMR nếu $ 1 \leq x_k \leq 2 $ k=1,2.... thì
$ (\sum\limits_{k=1}^{n}x_k)(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k})^2 \leq n^3 $

[dtdong91]

Vì các biến ko phụ thuộc vào nhau nên có thể coi đây như 1 đa thức ẩn $ x_k$ tùy ý
Ta nhận thấy đa thức sẽ có dạng $ Ax_k+\dfrac{B}{x_k}+C$
Dễ nhận thấy ở dạng này thì đa thức đạt max tại $ x_k=1$ hoặc $ x_k=2$

[namdung]

Vì các biến ko phụ thuộc vào nhau nên có thể coi đây như 1 đa thức ẩn $ x_k$ tùy ý
Ta nhận thấy đa thức sẽ có dạng $ Ax_k+\dfrac{B}{x_k}+C$
Dễ nhận thấy ở dạng này thì đa thức đạt max tại $ x_k=1$ hoặc $ x_k=2$

Bạn ơi, thừa số thứ hai có bình phương mà! Do đó không thể kết luận như trên được đâu.

[namdung]

Đây là một bài toán thú vụ đấy. Số 2 không thể thay được bằng một hằng số lớn hơn.

[dtdong91]

Oái em nhìn nhầm
Ta có BDT có dạng sau
$ \dfrac{A}{x_k^2}+\dfrac{B}{x_k}+C $
Cái này cũng là 1 tam thức bậc 2 rồi

[namdung]

Oái em nhìn nhầm
Ta có BDT có dạng sau
$ \dfrac{A}{x_k^2}+\dfrac{B}{x_k}+C $
Cái này cũng là 1 tam thức bậc 2 rồi

Không đâu, vẫn còn thừa số tuyến tính nữa!

[MyLoveIs4Ever]

Còn đây là bài zải của em:
$ (\sum\limits_{k=1}^{n}x_k)(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k})^2) \leq (\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x_k+\dfrac{2}{x_k}}{3})^3 $
Xét hàm số $ f(t)= t + \dfrac{2}{t} $
$ f''(t)= \dfrac{4}{t^3} >0 $ mọi $ t \in [1,2] $ => f(t) là hàm lõm trên [1,2] vậy f(t) nhận giá trị cực đại tại 2 đầu mút...
tức $ f(t) \leq max[f(1),f(2)]=3 $ (đpcm)

[namdung]

Còn đây là bài zải của em:
$ (\sum\limits_{k=1}^{n}x_k)(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k})^2) \leq (\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x_k+\dfrac{2}{x_k}}{3})^3 $
Xét hàm số $ f(t)= t + \dfrac{2}{t} $
$ f''(t)= \dfrac{4}{t^3} >0 $ mọi $ t \in [1,2] $ => f(t) là hàm lõm trên [1,2] vậy f(t) nhận giá trị cực đại tại 2 đầu mút...
tức $ f(t) \leq max[f(1),f(2)]=3 $ (đpcm)

OK. Đây có lẽ là cách giải gọn gàng nhất rồi.

Có ai có ý kiến gì thêm không? Có mở rộng được gì không?

[An Infinitesimal]

OK. Đây có lẽ là cách giải gọn gàng nhất rồi.

Có ai có ý kiến gì thêm không? Có mở rộng được gì không?

Có thề dùng tổng $\sum$ rồi dùng cachy có tách