Đến nội dung

Hình ảnh

$x+y$ không là ước của $xy$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh có ít nhất $2^{n-1}+n$ số có thể chọn từ $\{ 1,2,...,2^n \}$ sao cho với mỗi cặp hai số phân biệt đã chọn $x,y$ ta đều có $x+y$ không là ước của $xy$.


1728

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đề bài nên sửa lại một chút cho khỏi nhầm lẫn :

Chỗ $\left \{ 1,2,...,2^n \right \}$ sửa thành $\left \{ 1,2,3,4,...,2^n \right \}$ để khỏi nhầm với $\left \{ 2^0,2^1,...,2^n \right \}$ 

 

Giải :

Từ $\left \{1,2,3,4,...,2^n \right \}$ ta chọn ra $2$ tập hợp như sau :

$A=\left \{ 1,3,5,7,...,2^n-1 \right \}$ ($A$ có tất cả $2^{n-1}$ số, đều là số lẻ)

$B=\left \{ 2^1,2^2,2^3,...,2^n \right \}$ ($B$ có tất cả $n$ số, đều là số chẵn)

Rõ ràng $A$ và $B$ là $2$ tập hợp không có phần tử nào chung.

Ta gọi $C$ là tập hợp gồm tất cả các số của $A$ và $B$ ($C=A\cup B$).Tập $C$ có $2^{n-1}+n$ số.

Ta chứng minh rằng $\forall x,y\in C$ ($x\neq y$) ta có $x+y$ không phải là ước của $xy$.

Có $3$ trường hợp :

$1)$ $x$ và $y$ đều lẻ :

Khi đó $x+y$ là số chẵn, không thể là ước của $xy$ (vì $xy$ khi đó là số lẻ)

$2)$ $x$ và $y$ có $1$ số chẵn và $1$ số lẻ

Gọi số lẻ là $l$, số chẵn là $2^k$ ($1\leqslant k\leqslant n$)

Rõ ràng $l$ và $2^k$ là $2$ số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử $l+2^k$ là ước của $l.2^k\Rightarrow l+2^k$ là ước của $l$ hoặc $l+2^k$ là ước của $2^k$ (vì $l$ và $2^k$ nguyên tố cùng nhau)

Nhưng cả $2$ điều đó đều vô lý vì $l+2^k> l$ và $l+2^k> 2^k$ 

$\Rightarrow$ điều giả sử sai $\Rightarrow$ $l+2^k$ không phải là ước của $l.2^k$ hay $x+y$ không phải là ước của $xy$

$3)$ $x$ và $y$ đều chẵn :

Gọi số lớn hơn là $2^p$, số nhỏ hơn là $2^q$ ($1\leqslant q< p\leqslant n$)

Ta phải chứng minh $2^p+2^q$ không là ước của $2^p.2^q$

Hay $2^{p-q}+1$ không phải là ước của $2^p$

Điều đó là hiển nhiên vì $p> q$ nên $2^{p-q}+1$ là số lẻ lớn hơn $1$, không thể là ước của $2^p$ được.

Vậy trong trường hợp này $x+y$ cũng không phải là ước của $xy$

 

Vậy $\forall x,y\in C$ ($x\neq y$) ta đều có $x+y$ không phải là ước của $xy$

Trong đó $C$ là tập hợp có $2^{n-1}+n$ số như đã nêu rõ ở trên.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh