Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x+y$ không là ước của $xy$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2005 - 19:12

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh có ít nhất $2^{n-1}+n$ số có thể chọn từ $\{ 1,2,...,2^n \}$ sao cho với mỗi cặp hai số phân biệt đã chọn $x,y$ ta đều có $x+y$ không là ước của $xy$.


1728

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-01-2014 - 11:01

Đề bài nên sửa lại một chút cho khỏi nhầm lẫn :

Chỗ $\left \{ 1,2,...,2^n \right \}$ sửa thành $\left \{ 1,2,3,4,...,2^n \right \}$ để khỏi nhầm với $\left \{ 2^0,2^1,...,2^n \right \}$ 

 

Giải :

Từ $\left \{1,2,3,4,...,2^n \right \}$ ta chọn ra $2$ tập hợp như sau :

$A=\left \{ 1,3,5,7,...,2^n-1 \right \}$ ($A$ có tất cả $2^{n-1}$ số, đều là số lẻ)

$B=\left \{ 2^1,2^2,2^3,...,2^n \right \}$ ($B$ có tất cả $n$ số, đều là số chẵn)

Rõ ràng $A$ và $B$ là $2$ tập hợp không có phần tử nào chung.

Ta gọi $C$ là tập hợp gồm tất cả các số của $A$ và $B$ ($C=A\cup B$).Tập $C$ có $2^{n-1}+n$ số.

Ta chứng minh rằng $\forall x,y\in C$ ($x\neq y$) ta có $x+y$ không phải là ước của $xy$.

Có $3$ trường hợp :

$1)$ $x$ và $y$ đều lẻ :

Khi đó $x+y$ là số chẵn, không thể là ước của $xy$ (vì $xy$ khi đó là số lẻ)

$2)$ $x$ và $y$ có $1$ số chẵn và $1$ số lẻ

Gọi số lẻ là $l$, số chẵn là $2^k$ ($1\leqslant k\leqslant n$)

Rõ ràng $l$ và $2^k$ là $2$ số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử $l+2^k$ là ước của $l.2^k\Rightarrow l+2^k$ là ước của $l$ hoặc $l+2^k$ là ước của $2^k$ (vì $l$ và $2^k$ nguyên tố cùng nhau)

Nhưng cả $2$ điều đó đều vô lý vì $l+2^k> l$ và $l+2^k> 2^k$ 

$\Rightarrow$ điều giả sử sai $\Rightarrow$ $l+2^k$ không phải là ước của $l.2^k$ hay $x+y$ không phải là ước của $xy$

$3)$ $x$ và $y$ đều chẵn :

Gọi số lớn hơn là $2^p$, số nhỏ hơn là $2^q$ ($1\leqslant q< p\leqslant n$)

Ta phải chứng minh $2^p+2^q$ không là ước của $2^p.2^q$

Hay $2^{p-q}+1$ không phải là ước của $2^p$

Điều đó là hiển nhiên vì $p> q$ nên $2^{p-q}+1$ là số lẻ lớn hơn $1$, không thể là ước của $2^p$ được.

Vậy trong trường hợp này $x+y$ cũng không phải là ước của $xy$

 

Vậy $\forall x,y\in C$ ($x\neq y$) ta đều có $x+y$ không phải là ước của $xy$

Trong đó $C$ là tập hợp có $2^{n-1}+n$ số như đã nêu rõ ở trên.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh