Cho hai parabol có phương trình $y^2 = 2px$ và $y=ax^2+bx+c$. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.
hai parabol đó cắt nhau tại 4 điểm pb thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.
#1
Đã gửi 13-06-2007 - 20:56
#3
Đã gửi 09-09-2013 - 17:34
Cho hai parabol có phương trình $y^2 = 2px$ và $y=ax^2+bx+c$. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.
$(P_1)\ :\ y^2=2px\ (p\ne0)$, có trục đối xứng là đường $Ox$, có đỉnh là $T_1(0,0)$.
$(P_2)\ :\ y=ax^2+bx+c\ (a\ne0)$, có trục đối xứng là đường $(d)\ :\ x=\frac{-b}{2a}$, có đỉnh là $T_2\left(\frac{-b}{2a}\ ;\ \frac{-\Delta}{4a}\right)$ với $\Delta=b^2-4ac$.
$(P_1), (P_2)$ cắt nhau tạii 4 điểm phân biệt $\Rightarrow (P_2)$ cắt đường $Ox$ tại 2 điểm phân biệt $\Rightarrow \Delta>0$.
$(P_1), (P_2)$ cắt nhau tạii 4 điểm phân biệt $\Rightarrow (P_1), (d)$ nằm cùng phía đối với trục $Oy\Rightarrow p.\left(\frac{-b}{2a}\right)>0\Rightarrow pab<0$
Xét $M(x_0,y_0)\in (P_1)\cap (P_2) \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}y_0^2=2px_0 \\ y_0=ax_0^2+bx_0+c \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow x_0^2+\frac{b}{a}x_0+\frac{c}{a}-\frac{1}{a}y_0+y_0^2-2px_0=0 \Rightarrow x_0^2+y_0^2-2 \left(p-\frac{b}{2a}\right) x_0-2. \frac{1}{2a}y_0+ \frac{c}{a}=0$
$\Rightarrow \left[x_0-\left(p-\frac{b}{2a}\right)\right]^2+\left(y_0-\frac{1}{2a}\right)^2=\frac{(2pa-b)^2+1-4ac}{4a^2}$$=\frac{4p^2a^2-4pab+1+\Delta}{4a^2}>0.$ (Do $pab<0$ và $\Delta>0$).
Suy ra $M\in$ đường tròn ( C ): $(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=R^2$ có tâm là $I \left(p-\frac{b}{2a}\ ;\ \frac{1}{2a}\right)$ và bán kính là $R=\sqrt{\frac{4p^2a^2-4pab+1+\Delta}{4a^2}}$.
Vậy ta có (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 09-09-2013 - 17:36
- Zaraki và bangbang1412 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh