Chủ đề này có 7 trả lời

[pirate]

Bất đẳng thức này có đúng không? nếu đúng chứng minh giùm. Nếu sai đ?#8220;i dấu và chứng minh luôn. Cám ơn
$ x^{a+b} + y^{a+b} + z^{a+b} \geq x^ay^b + y^az^b + z^ax^b$
----------------------------------------------------------------------
Đánh công thức toán như sau

[tex] x^{a+b} + y^{a+b} + z^{a+b} \geq x^ay^b + y^az^b + z^ax^b[/tex]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovemoney_hic: 15-06-2007 - 22:50

[ilovemoney_hic]

Bất đẳng thức trên đúng với a,b dương:
Không mất tính tổng quát giả sử $z=max{x,y,z}$
$dpcm \Leftrightarrow x^a(x^b-y^b)+y^a(y^b-z^b)+z^a(z^b-x^b)\geq 0 \Leftrightarrow (x^a-y^a)(x^b-y^b)+(z^a-y^a)(z^b-x^b) \geq 0$ (cái này chắc là đúng)

[lyxuansang91]

Bất đẳng thức trên đúng với a,b dương:
Không mất tính tổng quát giả sử $z=max{x,y,z}$
$dpcm \Leftrightarrow x^a(x^b-y^b)+y^a(y^b-z^b)+z^a(z^b-x^b)\geq 0 \Leftrightarrow (x^a-y^a)(x^b-y^b)+(z^a-y^a)(z^b-x^b) \geq 0$ (cái này chắc là đúng)

Cái này dùng Trê - Bư -Sép mà ( đúng rồi:D)

[ilovemoney_hic]

Cái này dùng Trê - Bư -Sép mà ( đúng rồi:D)

Mình không nghĩ cái đõ là Trê-bư-sép
Đây là aất đẳng thức TreBưsep:
Nếu hai dãy {} và {b_{n}} đơn điệu cùng chiều thì :
$(\sum a_{n}b_n) \geq \dfrac{1}{n}(\sum a_n)(\sum b_n)$
Nếu hai dãy trên ngược chiều thì bất đẳng thức đổi chiều.
Còn bài trên mình chỉ dùng biến đổi tương đương thôi
PS: Chắc bạn lyxuansang91 định nói đến bất đẳng thức hóan vị, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức hóan vị thì cần xét hai trường hợp : $x \leq y \leq z$ và $x \geq y \geq z$ vì bất đẳng thức trên không đối xứng

[pirate]

có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức
$ \dfrac{ab^{n} }{ c^{n}(c+a) } +\dfrac{bc^{n} }{ a^{n}(a+b) }+\dfrac{ca^{n} }{ b^{n}(b+c) } \geq \dfrac{a }{ c+a}+\dfrac{b }{ a+b }+\dfrac{c }{ b+c } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pirate: 18-06-2007 - 11:43

[pirate]

Liệu có mở rộng được bất đẳng thức này:
$ x^{a}y^{b}+y^{a}z^{b}+x^{a}z^{b} \geq x^{a-1}y^{b+1}+y^{a-1}z^{b+1}+x^{a-1}z^{b+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pirate: 11-07-2007 - 18:01

[hoang tuan anh]

bổ đề Muirhead sẽ có ích cho bài toán này
, cho $a_1;a_1;a_3;b_1;b_2;b_3$ là 3 số thực sao cho
$a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq 0 ;a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq 0$ và
$a_1 \geq b_1 ; ; a_1+a_2 \geq b_1+b_2 ; a_1+a_2+a_3 =b_1+b_2+b_3$
ta luôn có $\sum_{sym} x^{a_1}y^{a_2}z^{a_3} \geq \sum_{sym}x^{b_1}y^{b_2}z^{b_3}$

[pirate]

Chứng minh bổ đề giùm nhé