Đến nội dung

Hình ảnh

Inequalities In Functional Spaces: Normed, Banach, Sobolev,...

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#1
study.maths

study.maths

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Dear All,

Please, help me to check the following inequality

$\|u\|_{H^2(I)}\leq \| \Delta u\|_{L^2(I)}, I \subset \mathbb{R}, I \neq \mathbb{R}.$



Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi study.maths: 20-06-2007 - 18:47

I'd like to share and to be shared.

A.N.

#2
wavelet

wavelet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Dear All,

Please, help me to check the following inequality

$\|u\|_{H^2(I)}\leq \| \Delta u\|_{L^2(I)}, I \subset \mathbb{R}, I \neq \mathbb{R}.$
Thanks


$I\subset R$ thì $\Delta u$ hiểu là cái gì vậy?

#3
study.maths

study.maths

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
$u_{xx}$ theo nghia phan bo.

Thanks.
I'd like to share and to be shared.

A.N.

#4
wavelet

wavelet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
$I=[0;1], u(x)=x+1$

#5
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

$I=[0;1], u(x)=x+1$


But if $u\in H^2_0(I)$ then your encouter example doesn't hold.

I think that study.maths wants us to check, not to prove or discard.

I guess the inequality may be right in the case of $u\in H^2_0(I)$.

Please, do it.
Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]

#6
wavelet

wavelet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
Very funny Sir hoc.toan :D

#7
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Very funny Sir hoc.toan :D


It's not funny as you think. We can prove this.

We note that the problem shown by study.maths is not clear: which space u belongs to?

Applying the technique of the proof for Poincare's inequality, we surely deduce the result in the case of $u\in H^2_0(I)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoc.toan: 23-06-2007 - 13:58

Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]

#8
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
In addition, we note to use the equivalent norm in H^2.
Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]

#9
wavelet

wavelet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

It's not funny as you think. We can prove this.

We note that the problem shown by study.maths is not clear: which space u belongs to?

Applying the technique of the proof for Poincare's in equality, we surely deduce the result in the case of $u\in H^2_0(I)$.


I still beleave that it sounds very funny until you show it for me why it goes :D

#10
study.maths

study.maths

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Thank you very much for your ideas. Please help me.
I'd like to share and to be shared.

A.N.

#11
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
Let $ I\subset \mathbb{R}, I\neq R$

From the fact $H^2_0=\overline{C_c^2}$, it follows that $u=\nabla u=0$ at $\partial I$.

Hence, we deduce that $\forall u\in H_0^2(I), \|u\|_{L^{\infty}(I)}\leq \mu(I)\|\triangle u\|_{L^1(I)},\|\nabla \|_{L^{\infty}(I)}\leq \|\triangle u\|_{L^1(I)}$.

By Holder’s inequality, we obtain that
$\|u\|_{L^2(I)}, \| \nabla u\|_{L^2(I)}\leq C(\mu(I))\|\triangle u\|_{L^2(I)}$.

In $ H^2$, by using the norm $\|u\|_{H^2}=C_0\big(\|u\|_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^2}+\|\triangle u\|_{L^2}\big),$

we deduce that $\|u\|_{H^{2}}\leq \|\triangle u\|_{L^2}, \forall u\in H^{2}_0.\Box$

If necessary, one can specify the constant $C_0$ which only depends on $\mu(I)$ (in this case).

An open problem: Consider the above inequality when $I\subset R^2$?


Why do I type "norm\ |. \ |" but the result is "absolution |.|"?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoc.toan: 23-06-2007 - 13:30

Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]

#12
wavelet

wavelet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
thôi chả cần theo bdt nọ hay kia gì cả đâu, anh tính hộ cho $u(x)=x+1$ trên $[1/2;1] $ và bằng $0$ trên $I=[0;1]$
$|\Delta u|_{L^2(I)}=????$
$||u||_{H^2(I)}$
Sau đó anh tự rút ra kết luận.

#13
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

thôi chả cần theo bdt nọ hay kia gì cả đâu, anh tính hộ cho $u(x)=x+1$ trên $[1/2;1] $ và bằng $0$ trên $I=[0;1]$
$|\Delta u|_{L^2(I)}=????$
$||u||_{H^2(I)}$
Sau đó anh tự rút ra kết luận.


As I said that the inequality asked by study.maths only holds in the case of $u\in H^2_0$.

Your encounter example doesn't belong to what we want to affirm. Right? You see if $u\in H^2_0$ ? The answer is "no".


In addition, yours is $u(x)=x+1,x\in [1/2;1] \quad and = 0, x\in [0,1]$. Is it a function? The answer is also "no" because it is not a mapping.

I'm looking forward to hearing from you, Sir Wavelet.
Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]

#14
wavelet

wavelet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
ọe u(x)=0 ngoài [1/2;1] lấy luôn I=[0;2] cho đỡ vặn vẹo, viết nhầm đoạn trên nhưng ai cũng hiểu. No comment!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wavelet: 24-06-2007 - 23:46


#15
Khách- CLtoan_*

Khách- CLtoan_*
  • Khách

ọe u(x)=0 ngoài [1/2;1] lấy luôn I=[0;2] cho đỡ vặn vẹo, viết nhầm đoạn trên nhưng ai cũng hiểu. No comment!


ngài hoc.toan nói đúng rồi. bài này dùng Poincar\'e thui. Nhưng trả lời cho câu hỏi ban đầu của study.maths là sai cho hàm trong H^2.

wavelet xem lại đi. một hàm trong H_0^2 thì đạo hàm cấp một cũng liên tục đó. Ý của wavelet là chọn hàm tuyến tính để vế phải bằng không, nhưng quên mất để =0 trên biên thì hàm đó phải có độ cong => vế phải khác không. he he, very funny indeed!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CLtoan: 25-06-2007 - 00:55


#16
Khách- CLtoan_*

Khách- CLtoan_*
  • Khách

Let $ I\subset \mathbb{R}, I\neq R$

From the fact $H^2_0=\overline{C_c^2}$, it follows that $u=\nabla u=0$ at $\partial I$.

Hence, we deduce that $\forall u\in H_0^2(I), \|u\|_{L^{\infty}(I)}\leq \mu(I)\|\triangle u\|_{L^1(I)},\|\nabla \|_{L^{\infty}(I)}\leq \|\triangle u\|_{L^1(I)}$.

By Holder’s inequality, we obtain that
$\|u\|_{L^2(I)}, \| \nabla u\|_{L^2(I)}\leq C(\mu(I))\|\triangle u\|_{L^2(I)}$.

In $ H^2$, by using the norm $\|u\|_{H^2}=C_0\big(\|u\|_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^2}+\|\triangle u\|_{L^2}\big),$

we deduce that $\|u\|_{H^{2}}\leq \|\triangle u\|_{L^2}, \forall u\in H^{2}_0.\Box$

If necessary, one can specify the constant $C_0$ which only depends on $\mu(I)$ (in this case).

An open problem: Consider the above inequality when $I\subset R^2$?
Why do I type "norm\ |. \ |" but the result is "absolution |.|"?


Chú ý: Cái này sai nếu I is unbounded!!!


Trả lời "open problem" của ngài hoc.toan: BDT đúng cho mọi tập $I\subset R^n$, với mọi n, không chỉ n=1 hay 2, với I chứa trong một strip bị chặn. (giả thiết sau quan trọng)

Ví dụ cho tập không bị chặn, hoặc không thuộc strip bị chặn? Hint: chọn $ I = (0,\infty)$, think of cut-off function =1 in (1,n) and =0 out side $(n+1,\infty) $ and at x=0.

have fun!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CLtoan: 25-06-2007 - 01:05


#17
study.maths

study.maths

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Chú ý: Cái này sai nếu I is unbounded!!!
Trả lời "open problem" của ngài hoc.toan: BDT đúng cho mọi tập $I\subset R^n$, với mọi n, không chỉ n=1 hay 2, với I chứa trong một strip bị chặn. (giả thiết sau quan trọng)

Ví dụ cho tập không bị chặn, hoặc không thuộc strip bị chặn? Hint: chọn $ I = (0,\infty)$, think of cut-off function =1 in (1,n) and =0 out side $(n+1,\infty) $ and at x=0.

have fun!


Vi $C$ phu thuoc tuyen tinh vao $\mu(I)$ nen $I$ phai bounded.

Minh vui lam. Cam on cac ban nhe.

Thanks.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi study.maths: 25-06-2007 - 12:19

I'd like to share and to be shared.

A.N.

#18
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Chú ý: Cái này sai nếu I is unbounded!!!
Trả lời "open problem" của ngài hoc.toan: BDT đúng cho mọi tập $I\subset R^n$, với mọi n, không chỉ n=1 hay 2, với I chứa trong một strip bị chặn. (giả thiết sau quan trọng)

Ví dụ cho tập không bị chặn, hoặc không thuộc strip bị chặn? Hint: chọn $ I = (0,\infty)$, think of cut-off function =1 in (1,n) and =0 out side $(n+1,\infty) $ and at x=0.

have fun!


Dung la $I$ bounded. Tuy nhien truong hop $n\geq 2$ phai can than bac a. Noi that la minh chua lam duoc. Bac CLtoan vui long chung minh truong hop so chieu tong quat dum nhe. Thanks.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoc.toan: 25-06-2007 - 13:05

Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]

#19
Khách- CLtoan_*

Khách- CLtoan_*
  • Khách

Dung la $I$ bounded. Tuy nhien truong hop $n\geq 2$ phai can than bac a. Noi that la minh chua lam duoc. Bac CLtoan vui long chung minh truong hop so chieu tong quat dum nhe. Thanks.


applying standard Poincare's inequality for $\nabla u$ (chứng minh của BDT này rất đơn giản: viết w(x) = w(x) - w(y) = ??? bởi Fundamental Theorem of Calculus, với x trong I và y trên biên).

#20
hoc.toan

hoc.toan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

applying standard Poincare's inequality for $\nabla u$ (chứng minh của BDT này rất đơn giản: viết w(x) = w(x) - w(y) = ??? bởi Fundamental Theorem of Calculus, với x trong I và y trên biên).


Van chua duoc bac a, bac vui long lam chi tiet giup minh di. Cam on.
Thân mến. Yours sincerely.

Lâm Uyên Học, Email: [email protected]

Chuyện cười về "Tiến sĩ Toán học LBKT": http://math.berkeley...ddhanh/LBKT.pdf

[size=6][color=red][url=http://math.berkeley.edu/~ddhanh/LBKT.pdf]




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh