Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 doan lang

doan lang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Đã gửi 17-04-2005 - 08:08

Tìm $x,y$ dương sao cho:

$$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$

có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.



#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-08-2013 - 06:32

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng   @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 6/8 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Valar Morghulis

Valar Morghulis

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The Free City of Braavos

Đã gửi 06-08-2013 - 12:17

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

 

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

 

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

 

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

 

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

 

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

 

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

 

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

 

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Valar Morghulis: 06-08-2013 - 12:18


#4 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 06-08-2013 - 15:09

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

 

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

 

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

 

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

 

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

 

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

 

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

 

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

 

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài

Nếu thế trong trường hợp x và y khác nhau thì sao nhỉ  :(  :mellow:


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#5 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 12-08-2013 - 21:04

Đề phải cho $x, y$ nguyên mới thú vị chứ nhỉ?



#6 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 15-08-2013 - 23:54

Đề phải cho $x, y$ nguyên mới thú vị chứ nhỉ?

Em cũng nghĩ thế  :icon6:


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-10-2013 - 21:56



Tìm $x,y$ dương sao cho:

$$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$

có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.

Dễ thấy $x=y=\frac{33}{2}$ là 1 nghiệm của bài toán.

Với $x,y>0$ và $x\neq y$, ta có :

$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}>\sqrt{\frac{x^2+y^2+2xy}{4}}=\frac{x+y}{2}>\sqrt{xy}$ (1) (suy ra từ  BĐT Cauchy)

Và vì $\sqrt{xy}$ là trung bình nhân của $\frac{x+y}{2}$ và $\frac{2xy}{x+y}$ nên ta có $\frac{x+y}{2}> \sqrt{xy}> \frac{2xy}{x+y}$ (2)

(1),(2) ---> $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}>\frac{x+y}{2}>\sqrt{xy}>\frac{2xy}{x+y}$

Từ đó có thể cm bài toán này có vô số nghiệm như sau :

Cho $y$ một giá trị p bất kỳ thuộc $(\frac{33}{2};\frac{33\sqrt{2}}{2})$.Ta xét hàm số :

$f(x)=\sqrt{\frac{x^2+p^2}{2}}+\frac{x+p}{2}+\sqrt{px}+\frac{2px}{x+p}-66$ ($f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$

Khi đó $f(0)<4\sqrt{\frac{0^2+p^2}{2}}-66<4\sqrt{\frac{0^2+\frac{1089}{2}}{2}}-66=0$ ; $f(17)>\frac{8.p.17}{17+p}-66>\frac{8.\frac{33}{2}.17}{17+\frac{33}{2}}-66>0$

---> Tồn tại $x\in (0;17)$ là nghiệm của $f(x)$.

Do x,y có vai trò như nhau nên nếu $y\in (0;17)$ thì $x\in (\frac{33}{2};\frac{33\sqrt{2}}{2})$.

 

Như vậy với mỗi $y\in (0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$ luôn tồn tại $x\in (0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$ là nghiệm của $f(x)$.Gọi nghiệm đó là q.

Vì có vô số cách chọn p; với mỗi cách chọn p đều tồn tại ít nhất 1 giá trị q là nghiệm của $f(x)$ và số số nguyên thuộc $(0;\frac{33\sqrt{2}}{2})$ là hữu hạn nên có vô số cặp số $x=q;y=p$ thỏa mãn ĐK của bài toán.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-10-2013 - 09:52

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh