Chủ đề này có 1 trả lời

[mysterious]

Một số BĐT khá hay, mời mọi người giúp em luôn:

a,Cho các số thực dương a,b,c có tổng bằng 1. CMR:

$\sum{\dfrac{a}{4b^2+1}}\geq(\sum{a\sqrt{a}})^2$

9,Cho a, b, c >0.CMR:

$\sum{\dfrac{a}{\sqrt{bc}+2a}}\leq1$

10,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

+) Nếu $n\geq2$ thì:

$ \dfrac{1}{x+n}+\dfrac{1}{y+n}+\dfrac{1}{z+n}\leq\dfrac{3}{1+n}$

+) Nếu $n\leq\dfrac{1}{2}$ thì:

$ \dfrac{1}{x+n}+\dfrac{1}{y+n}+\dfrac{1}{z+n}\geq\dfrac{3}{1+n}$

[chien than]

a)
a)Áp dụng BDT Bunha ta có:
$\sum \dfrac{a}{4b^2+1} =\sum \dfrac{a^3}{4a^2b^2+a^2}$
$\geq \dfrac{(\sum a\sqrt{a})^2}{4(\sum a^2b^2)+\sum a^2}$
Ta phải CM:
$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2 \leq 1 =(a+b+c)^2$
<=>$ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca) \geq 0$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $a+b+c=1$=>$ab;bc;c \leq \dfrac{1}{4}$
Đẳng thức xảy ra <=>trong 3 số $a;b;c$ có 1 số bằng$ 1$ và 2 số bằng 0