Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$
Started By kelieulinh, 17-04-2005 - 14:43
#1
Posted 17-04-2005 - 14:43
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.
- Zaraki, daovuquang, no matter what and 1 other like this
#2
Posted 24-12-2012 - 22:44
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 25/12 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 25/12 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
Edited by PSW, 14-02-2013 - 20:37.
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#3
Posted 25-12-2012 - 00:00
Lời giải. Có ba khả năng xảy ra:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.
Khả năng 1. $M\equiv O$, khi đó $E,F,G$ trùng với trọng tâm $I$ của tứ giác $ABCD$, ta có đpcm.
Khả năng 2. $M\in \left ( O \right )$, khi đó, theo định lí về đường thẳng Simson ta có các bộ ba điểm$(X,Z,V); (V,Y,T); (Z,Y,U); (U,T,X)$ thẳng hàng nên $E,F,G$ là đường thẳng Gauss trong tứ giác toàn phần tạo bởi các điểm $X, Y, Z, T, U, V$. Và hiển nhiên ta có kết quả bài toán.
Khả năng 3. $M\notin \left ( O \right )$ và $M\not\equiv O$, gọi ${M}'\in OM\cap \left ( O \right )$ và ${X}',{Y}',{Z}',{T}',{U}',{V}'$ là hình chiếu của ${M}'$ trên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Vì $O,M,M'$ thẳng hàng nên các bộ ba điểm $(I,G,G'), (I,E,E'), (I,F,F')$ thẳng hàng và $\frac{\overline{IG}}{\overline{I{G}'}}=\frac{\overline{IE}}{\overline{I{E}'}}=\frac{\overline{IF}}{\overline{I{F}'}}$. Từ đó, với chú ý $E',F',G'$ thẳng hàng nên theo phép vị tự ta có $E,F,G$ thẳng hàng.
Edited by Trungpbc, 25-12-2012 - 00:00.
- perfectstrong, N H Tu prince, L Lawliet and 5 others like this
#4
Posted 25-12-2012 - 03:50
Giải:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.
-Chọn trục vuông góc nhận đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ làm đường tròn đơn vị.
Lấy $z$ là tọa vị điểm $Z$ trong mặt phẳng: ( $a\bar{a}=b\bar{b}=c\bar{c}=d\bar{d}=1$ )
-Ta có với $M$ bất kì, chân đường vuông góc xuống dây cung $WS$ của đường tròn đơn vị sẽ là:
$2h_{ws}(m)=w+s+m-ws\bar{m}$ $(*)$ ( Với $h_{ws}(m)$ là tọa vị chân vuông góc)
-Theo đó:
$4e=2h_{ab}(m)+2h_{cd}(m)=a+b+c+d+2m-\bar{m}(ab+cd)$
$4f=2h_{ac}(m)+2h_{bd}(m)=a+b+c+d+2m-\bar{m}(ac+bd)$
$4g=2h_{ad}(m)+2h_{bc}(m)=a+b+c+d+2m-\bar{m}(ad+bc)$
Nên: $\frac{e-f}{g-f}=\frac{4(e-f)}{4(g-d)}=\frac{\bar{m}(ab+cd-ac-bd)}{\bar{m}(ad+bc-ac-bd)}$
$=\frac{ab+cd-ac-bd}{ad+bc-ac-bd}=\frac{\frac{ab+cd-ac-bd}{abcd}}{\frac{ad+bc-ac-bd}{abcd}}=\frac{\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bd}}{\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bd}}=\frac{\bar{ab}+\bar{cd}-\bar{ac}-\bar{bd}}{\bar{ad}+\bar{bc}-\bar{ac}-\bar{bd}}={\frac{\bar{e}-\bar{f}}{\bar{g}-\bar{f}}}$
Do đó: $\vec{FE}||\vec{FG}$ Hay $E,F,G$ thẳng hàng với $M$ bất kì trong cùng mặt phẳng :')
-Ta luôn có $(*)$, bởi lấy $I$ là chân vuông góc với tọa vị $j$ :
+$I\in WS\Leftrightarrow j+ws\bar{j}=w+s$ $(1)$
+$IM\perp WS\Leftrightarrow (\bar{j}-\bar{m})(w-s)=-(j-m)(\bar{w}-\bar{s})=(j-m)\frac{w-s}{ws}\Leftrightarrow \bar{j}=\bar{m}+(j-m)\bar{ws}(2)$
-$(1)$ và $(2)$,ta có: $2j=2h_{ws}(m)=w+s+m-ws\bar{m}$ ^^~
Edited by robin997, 25-12-2012 - 06:12.
- perfectstrong, N H Tu prince, WhjteShadow and 3 others like this
^^~
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users