Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
$$A= \dfrac{n}{ (1,1)^{n} }; B= \dfrac{ n^{2} }{ (1,1)^{n} }$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:59
Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
$$A= \dfrac{n}{ (1,1)^{n} }; B= \dfrac{ n^{2} }{ (1,1)^{n} }$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:59
Đặt: $f(n)=\frac{n}{(1,1)^{n}}$
$g(n)=\frac{n^{2}}{(1,1)^{n}}$
+) Đối với $f(n)$: Dùng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh được:
$f(n+1)>f(n)$ với $\forall n=1,2,...,9$
$f(n)>f(n+1)$ với $\forall n=11,12,13,...$
Trong đó $f(10)=f(11)=\frac{10^{11}}{11^{10}}$. Vậy $f(10)>f(9)>f(8)>...>f(1)$;
$f(11)>f(12)>f(13)>...$
Từ đó $\Rightarrow f(n)$ đạt $GTLN=\frac{10^{11}}{11^{10}}$ khi $n=10$ hoặc $n=11$
++) Đối với $g(n)$ : Dùng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh được:
$g(n+1)>g(n)$, với $\forall n=1,2,3,...,20$
$g(n)>g(n+1)$, với $\forall n=21,22,23,...$
Vậy: $g(21)>g(20)>g(19)>...>f(1)$
$g(21)>g(22)>g(23)>....$
Tứ đó suy ra $g(n)$ đạt $GTLN=g(21)=\frac{441}{(1,1)^{21}}$ khi $n=21$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 08-07-2013 - 07:51
Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
$$A= \dfrac{n}{ (1,1)^{n} }; B= \dfrac{ n^{2} }{ (1,1)^{n} }$$
1)
Đặt $A_n=\frac{n}{1,1^n}$ (n nguyên dương).Ta có :
$\frac{A_{n+1}}{A_{n}}=\frac{n+1}{1,1n}\geq 1\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}\geq 1,1\Leftrightarrow \frac{1}{n}\geq 0,1 \Leftrightarrow n\in [1;10]$ (n nguyên)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi n = 10, tức là $A_{11}=A_{10}>A_{9}>A_{8}>...>A_{1}$
Với $n\geq 11$ ta có $A_{11}$ > $A_{12}$ > $A_{13}$ > $...$
Vậy GTLN là $A_{10}=A_{11}=\frac{10}{1,1^{10}}$
2)
Đặt $B_n=\frac{n^2}{1,1^n}$ (n nguyên dương).Ta có :
$\frac{B_{n+1}}{B_n}\geq 1\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}\geq \sqrt{1,1}\Leftrightarrow n\in [1;20]$
Dấu bằng không xảy ra, tức là
$B_{21}>B_{20}>B_{19}>...>B_1$ và
$B_{21}>B_{22}>B_{23}>...$
Vậy $B_{21}=\frac{21^2}{1,1^{21}}=\frac{441}{1,1^{21}}$ là GTLN
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$Bắt đầu bởi hxthanh, 20-07-2022 psw |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$Bắt đầu bởi dark templar, 17-11-2012 psw |
|
|||
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)Bắt đầu bởi T*genie*, 30-07-2012 psw |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Các bài toán Đại số khác →
Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$Bắt đầu bởi Thanh Ha, 23-05-2009 psw |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh