Tìm số nguyên $n (n \geq 3 )$ thỏa mãn với mọi n điểm trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng thì tồn tại 3 điểm mà tọa thành 1 tam giác không cân
Tìm số nguyên n nhỏ nhất
Bắt đầu bởi LvanhTuan, 11-07-2007 - 19:11
#1
Đã gửi 11-07-2007 - 19:11
Chuyên toán Hà Tĩnh
#2
Đã gửi 11-07-2007 - 21:11
$n=7$
Với $n=6$ thì ta lấy $6$ điểm gồm $5$ đỉnh của một ngũ giác đều và tâm của ngũ giác đó.
Ta chứng minh với $n=7.$
Trước hết ta chứng minh rằng nếu có n điểm ko thẳng hàng mà $3$ điểm bất kì tạo thành tam giác cân thì $n\le 6.$
Chứng minh:
Trước hết ta có nhận xét là nếu trong $n$ điểm đó có $1$ tam giác đều thì $n\le 5$, do vậy ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ko có tam giác đều nào.
1. Ta có không quá một điểm mà cách đều tất cả các điểm còn lại, nếu có thì gọi là $O$
2. Giả sử $A$ là một điểm khác $O$. Khi đó ta chứng minh rằng với mỗi $d$ thì có ko quá $2$ điểm có khoảng cách $d$ so với $A$. Giả sử ngược lại là tồn tại $3$ điểm $B, C, D$ mà $AB=AC=AD=d$, do tồn tại $E$ khác $A$ mà $AE\neq d$. Theo giả thiết thì các tam giác $AEB, AEC, AED$ đều cân, nhưng do $AE\neq d=AB,AC,AD$ nên ta phải có $EA=EB,EA=EC,EA=ED$. hay $E$ là giao của $3$ đường trung trực của các đoạn $AB,AC,AD$, vô lí.
Tiếp theo ta tính số góc mà có 2 cạnh bằng nhau: ta có theo 1 và 2 thì số góc không quá ${n-1\choose 2} +(n-1).\dfrac{n-2}{2}=(n-1)(n-2) $. Mặt khác ta có số tam giác là $n\choose 3$ và đều cân nên ta có :
${n\choose 3}\le (n-1)(n-2)$, suy ra $n\le 6$.
Với $n=6$ thì ta lấy $6$ điểm gồm $5$ đỉnh của một ngũ giác đều và tâm của ngũ giác đó.
Ta chứng minh với $n=7.$
Trước hết ta chứng minh rằng nếu có n điểm ko thẳng hàng mà $3$ điểm bất kì tạo thành tam giác cân thì $n\le 6.$
Chứng minh:
Trước hết ta có nhận xét là nếu trong $n$ điểm đó có $1$ tam giác đều thì $n\le 5$, do vậy ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ko có tam giác đều nào.
1. Ta có không quá một điểm mà cách đều tất cả các điểm còn lại, nếu có thì gọi là $O$
2. Giả sử $A$ là một điểm khác $O$. Khi đó ta chứng minh rằng với mỗi $d$ thì có ko quá $2$ điểm có khoảng cách $d$ so với $A$. Giả sử ngược lại là tồn tại $3$ điểm $B, C, D$ mà $AB=AC=AD=d$, do tồn tại $E$ khác $A$ mà $AE\neq d$. Theo giả thiết thì các tam giác $AEB, AEC, AED$ đều cân, nhưng do $AE\neq d=AB,AC,AD$ nên ta phải có $EA=EB,EA=EC,EA=ED$. hay $E$ là giao của $3$ đường trung trực của các đoạn $AB,AC,AD$, vô lí.
Tiếp theo ta tính số góc mà có 2 cạnh bằng nhau: ta có theo 1 và 2 thì số góc không quá ${n-1\choose 2} +(n-1).\dfrac{n-2}{2}=(n-1)(n-2) $. Mặt khác ta có số tam giác là $n\choose 3$ và đều cân nên ta có :
${n\choose 3}\le (n-1)(n-2)$, suy ra $n\le 6$.
#3
Đã gửi 28-07-2007 - 16:48
Có lẽ bài này được cải biên từ bài toán sauTìm số nguyên $n (n \geq 3 )$ thỏa mãn với mọi n điểm trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng thì tồn tại 3 điểm mà tọa thành 1 tam giác không cân
(Erdos - Szekeres 1935): Cho số nguyên dương $m\geq 3$. Cm: tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho với tập bất kì gồm $n$ điểm trên mặt phẳng ( không có 3 điểm nào thằng hàng) thì có chứa $m$ điểm là đỉnh của đa giác lồi gồm $m$ góc
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh