Đề thi Tuyển sinh Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
Năm học 2007-2008. Môn thi: Toán vòng II
Bài 1 (2 điểm)
1. Gọi a là nghiệm của phương trình $\sqrt{2}x^2+x-1=0$. Không giải phương trình, tính $A=\dfrac{2a-3}{\sqrt{2(2a^4-2a+3)}+2a^2$
2. Tìm a,b hữu tỉ thỏa mãn: $\dfrac{3}{a+b\sqrt{3}}-\dfrac{2}{a-b\sqrt{3}}=7\20\sqrt{3}$
Câu 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left{\begin{(x^2+1)(y^2+1)+8xy=0}\\{\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{-1}{4}}$
Câu 3 (2,5 điểm)
1. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2-ab=c^2$.
Chứng minh rằng phương trình $x^2-2x+(a-c)(b-c)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
2. Cho phương trình $x^2-x+p=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ dương. Xác định $p$ để $x_1^4+x_2^4-x_1^5-x_2^5$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$. 2 đường cao $BD,CE$ cắt nhau ở $H$. $I$ là trung điểm $BC$. 2 đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BEI$ và $CDI$ cắt nhau ở $K$ (khác $I$)
1. Chứng minh $\hat{BDK}=\hat{CEK}$
2. $DE$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $M,H,K$ thẳng hàng.
3. Chứng minh rằng tứ giác $BKDM$ nội tiếp.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 19 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm trong một lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có ít nhất 1 góc không vượt quá $45^\circ$ và nằm trong nột đường tròn có bán kính nhỏ hơn $\dfrac{3}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 29-06-2009 - 17:18
