Ta giới thiệu 1 cách tiếp cận cho thặng dư bình phương
Gọi ( $ \dfrac{D}{p} $ ) là ký hiệu Lagendre với p là số nguyên tố, trong đó
( $ \dfrac{D}{p} $ )=0 nếu p|D
( $ \dfrac{D}{p} $ )=1 nếu D là thặng dư bình phương (mod p), và ( $ \dfrac{D}{p} $ )=-1 nếu ngược lại
Đầu tiên ta có tính chất cơ bản
( $ \dfrac{D}{p} $ ) $ \equiv D^{ \dfrac{p-1}{2} } (modp) $
Ta có các tính chất sau
I. Nếu $D \equiv D'(mod p)$ thì ( $ \dfrac{D}{p} $ )=( $ \dfrac{D'}{p} $ )
II. D,D' không là bội của p thì
( $ \dfrac{D'}{p} $ )( $ \dfrac{D'}{p} $ )=( $ \dfrac{DD'}{p} $ )
III. ( $ \dfrac{-1}{p} $ )=$(-1)^{ \dfrac{p-1}{2} }$
IV. ( $ \dfrac{2}{p} $ )=$(-1)^{ \dfrac{1}{8} (p^{2}-1) }$
Ta có một bổ đề về ký hiệu Legendre như sau:
Bổ đề Gauss: $\(\dfrac{a}{p}\)=\(-1\)^{s}$ với $s=\sum_{k=1}^{\dfrac{p-1}{2}}\[\dfrac{2ka}{p}\]$
Hệ quả trực tiếp: $\(\dfrac{2}{p}\)=\(-1\)^{\[\dfrac{p+1}{4}\]}$