Đến nội dung

Các định nghĩa, định lí trong Số học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#21
Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết

Ta giới thiệu 1 cách tiếp cận cho thặng dư bình phương
Gọi ( $ \dfrac{D}{p} $ ) là ký hiệu Lagendre với p là số nguyên tố, trong đó
( $ \dfrac{D}{p} $ )=0 nếu p|D
( $ \dfrac{D}{p} $ )=1 nếu D là thặng dư bình phương (mod p), và ( $ \dfrac{D}{p} $ )=-1 nếu ngược lại
Đầu tiên ta có tính chất cơ bản
( $ \dfrac{D}{p} $ ) $ \equiv D^{ \dfrac{p-1}{2} } (modp) $
Ta có các tính chất sau
I. Nếu $D \equiv D'(mod p)$ thì ( $ \dfrac{D}{p} $ )=( $ \dfrac{D'}{p} $ )
II. D,D' không là bội của p thì
( $ \dfrac{D'}{p} $ )( $ \dfrac{D'}{p} $ )=( $ \dfrac{DD'}{p} $ )
III. ( $ \dfrac{-1}{p} $ )=$(-1)^{ \dfrac{p-1}{2} }$
IV. ( $ \dfrac{2}{p} $ )=$(-1)^{ \dfrac{1}{8} (p^{2}-1) }$


Ta có một bổ đề về ký hiệu Legendre như sau:

Bổ đề Gauss: $\(\dfrac{a}{p}\)=\(-1\)^{s}$ với $s=\sum_{k=1}^{\dfrac{p-1}{2}}\[\dfrac{2ka}{p}\]$
Hệ quả trực tiếp: $\(\dfrac{2}{p}\)=\(-1\)^{\[\dfrac{p+1}{4}\]}$
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#22
Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết

Sử dụng phép đếm cặp số ta sẽ CM bổ đề
$ \dfrac{p-1}{2} . \dfrac{q-1}{2} $ = $ \sum\limits_{l=1}^{ \dfrac{q-1}{2} } [ \dfrac{lp}{q}] $ + $ \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} } [ \dfrac{kq}{p} ] $
Cả 2 về của đẳng thức trên đều là số cặp (lp, kq) với $ k \leq \dfrac{p-1}{2}$ và $ l \leq \dfrac{q-1}{2}$


Xin lỗi các anh, làm ơn cho em hỏi tại sao số cặp $(lp, kq)$ với $ k \leq \dfrac{p-1}{2}$ và $ l \leq \dfrac{q-1}{2}$ lại bằng $\sum\limits_{l=1}^{ \dfrac{q-1}{2} } \[\dfrac{lp}{q}\] + \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} } \[ \dfrac{kq}{p}\]$ ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 01-07-2008 - 10:02

Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#23
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

mọi người cho mình xin tài liệu về  $v_{p}(n)$ với 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh