Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

IMC 2007


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 nthd

nthd

    Hanoi University of Techlonogy

  • Hiệp sỹ
  • 554 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương - Japan
  • Sở thích:làm gì mình thích

Đã gửi 09-08-2007 - 08:41

International Math Competition 2007


Ngày 1 ( 05 - 08 - 2007 )

Bài 1: Cho $f$ là một đa thức bậc hai có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ chia hết cho $5$ với mọi $x$ nguyên. Chứng minh rằng các hệ số của $f$ cũng chia hết cho $5$.

Bài 2: Cho $n\ge 2$ là một số tự nhiên. Hỏi rằng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể có cho hạng của một ma trận $n\times n$ có các giá trị trong các ô là $\{ 1,2,...,n^2\}$ ?

Bài 3: Ta gọi một đa thức $P(x_1,x_2,...x_k)$ là "good" nếu tồn tại các ma trận $2\times 2$ là $A_1,A_2,..., A_k$ thỏa mãn :
$P(x_1,x_2,...x_k)=\det (\sum_{i=1}^k x_iA_i)$
Tìm tất cả các giá trị $k $sao cho mọi đa thức thuần nhất với $k$ biến bậc hai đều được gọi là "good".

Bài 4: Xét $G$ là một nhóm hữu hạn. Với các tập con bất kỳ $U,V,W$ của $G$, ta ký hiệu $N_{UVW}$ là số bộ ba $(x,y,z)\in U\times V\times W$ thỏa mãn $xyz$ là đơn vị.
Giả sử $G$ được phân hoạch thành 3 tập $A,B$ và $C$ ( tức là $A,B,C$ đôi một rời nhau và $A\;\small\cup$ $B\;\small\cup $$C=G$ ). Chứng minh rằng $N_{ABC}=N_{CBA}$.

Bài 5: Cho $n$ là một số nguyên dương và $a_1,a_2,...,a_n$ là $n$ số nguyên bất kỳ. Giả sử có một hàm $f: Z\to R$ thỏa mãn : $\sum_{i=1}^nf(k+a_il)=0$ với mọi các số nguyên $k,l$ và $l\neq 0$. Chứng minh rằng $f=0$.

Bài 6: Một đa thức $P(x)$ sẽ có thể có bao nhiêu hệ số khác 0 nếu các hệ số của nó là nguyên và $|P(z)|\le 2$ với mọi $z$ thỏa mãn $|z|=1$?




Ngày 2 ( 06 - 08 - 2007 )

Bài 1: Cho $f:R\to R$ là một hàm liên tục. Giả sử rằng với mọi $c>0$ ta có thể nhận được đồ thị $cf $từ đồ thị $f$ thông qua chỉ một phép tịnh tiến hoặc một phép quay. Có thể suy ra rằng $f(x)=ax+b$ với các tham số $a$ và $b$ nào đó?

Bài 2: Cho các số nguyên $x,y$ và $z$. Đặt $S=x^4+y^4+z^4$ và giả sử là $S$ chia hết cho $29$. Chứng minh rằng $S$ chia hết cho $29^4$.

Bài 3: Cho $C$ là một tập con bị chặn, đóng và khác rỗng của đường thẳng thực và $f: C\to C$ là một hàm liên tục không giảm. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $p\in C$ thỏa mãn $f(p)=p$.

Bài 4: Cho $n>1$ là một số nguyên dương lẻ và $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn:
$a_{ij}=2$ nếu $i=j$
bằng $1$ nếu $i-j\equiv\pm 2\pmod n $
và bằng $0$ trong các trường hợp khác
Tìm $\det A$

Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $k$, tìm số nhỏ nhất $n_k$ sao cho tồn tại $k$ ma trận vuông cấp $n_k$ là $A_1,A_2,...,A_k$ thỏa mãn:

(1) $A_1^2=A_2^2=...=A_k^2=0$,

(2) $A_iA_j=A_jA_i$ với mọi $1\le i,j\le k$, và

(3) $A_1A_2...A_k\neq 0$.

Bài 6: Cho $f\neq 0$ là một đa thức hệ số thực. Xác định dãy đa thức $f_0,f_1,f_2,...$ như sau: $f_0=f$ và $f_{n+1}=f_n+f'_n$ với mọi $n\ge 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $N$ sao cho với mọi $n\ge N$ thì tất cả các nghiệm của $f_n$ đều thực.

Tải thêm file đề thi sau:

File gửi kèm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh