Đến nội dung

Hình ảnh

IMC 2007


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
nthd

nthd

    Hanoi University of Techlonogy

  • Hiệp sỹ
  • 554 Bài viết

International Math Competition 2007


Ngày 1 ( 05 - 08 - 2007 )

Bài 1: Cho $f$ là một đa thức bậc hai có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ chia hết cho $5$ với mọi $x$ nguyên. Chứng minh rằng các hệ số của $f$ cũng chia hết cho $5$.

Bài 2: Cho $n\ge 2$ là một số tự nhiên. Hỏi rằng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể có cho hạng của một ma trận $n\times n$ có các giá trị trong các ô là $\{ 1,2,...,n^2\}$ ?

Bài 3: Ta gọi một đa thức $P(x_1,x_2,...x_k)$ là "good" nếu tồn tại các ma trận $2\times 2$ là $A_1,A_2,..., A_k$ thỏa mãn :
$P(x_1,x_2,...x_k)=\det (\sum_{i=1}^k x_iA_i)$
Tìm tất cả các giá trị $k $sao cho mọi đa thức thuần nhất với $k$ biến bậc hai đều được gọi là "good".

Bài 4: Xét $G$ là một nhóm hữu hạn. Với các tập con bất kỳ $U,V,W$ của $G$, ta ký hiệu $N_{UVW}$ là số bộ ba $(x,y,z)\in U\times V\times W$ thỏa mãn $xyz$ là đơn vị.
Giả sử $G$ được phân hoạch thành 3 tập $A,B$ và $C$ ( tức là $A,B,C$ đôi một rời nhau và $A\;\small\cup$ $B\;\small\cup $$C=G$ ). Chứng minh rằng $N_{ABC}=N_{CBA}$.

Bài 5: Cho $n$ là một số nguyên dương và $a_1,a_2,...,a_n$ là $n$ số nguyên bất kỳ. Giả sử có một hàm $f: Z\to R$ thỏa mãn : $\sum_{i=1}^nf(k+a_il)=0$ với mọi các số nguyên $k,l$ và $l\neq 0$. Chứng minh rằng $f=0$.

Bài 6: Một đa thức $P(x)$ sẽ có thể có bao nhiêu hệ số khác 0 nếu các hệ số của nó là nguyên và $|P(z)|\le 2$ với mọi $z$ thỏa mãn $|z|=1$?




Ngày 2 ( 06 - 08 - 2007 )

Bài 1: Cho $f:R\to R$ là một hàm liên tục. Giả sử rằng với mọi $c>0$ ta có thể nhận được đồ thị $cf $từ đồ thị $f$ thông qua chỉ một phép tịnh tiến hoặc một phép quay. Có thể suy ra rằng $f(x)=ax+b$ với các tham số $a$ và $b$ nào đó?

Bài 2: Cho các số nguyên $x,y$ và $z$. Đặt $S=x^4+y^4+z^4$ và giả sử là $S$ chia hết cho $29$. Chứng minh rằng $S$ chia hết cho $29^4$.

Bài 3: Cho $C$ là một tập con bị chặn, đóng và khác rỗng của đường thẳng thực và $f: C\to C$ là một hàm liên tục không giảm. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $p\in C$ thỏa mãn $f(p)=p$.

Bài 4: Cho $n>1$ là một số nguyên dương lẻ và $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn:
$a_{ij}=2$ nếu $i=j$
bằng $1$ nếu $i-j\equiv\pm 2\pmod n $
và bằng $0$ trong các trường hợp khác
Tìm $\det A$

Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $k$, tìm số nhỏ nhất $n_k$ sao cho tồn tại $k$ ma trận vuông cấp $n_k$ là $A_1,A_2,...,A_k$ thỏa mãn:

(1) $A_1^2=A_2^2=...=A_k^2=0$,

(2) $A_iA_j=A_jA_i$ với mọi $1\le i,j\le k$, và

(3) $A_1A_2...A_k\neq 0$.

Bài 6: Cho $f\neq 0$ là một đa thức hệ số thực. Xác định dãy đa thức $f_0,f_1,f_2,...$ như sau: $f_0=f$ và $f_{n+1}=f_n+f'_n$ với mọi $n\ge 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $N$ sao cho với mọi $n\ge N$ thì tất cả các nghiệm của $f_n$ đều thực.

Tải thêm file đề thi sau:

File gửi kèm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh