Đến nội dung

Hình ảnh

$\min\limits_m\max\limits_x \dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
gà học toán

gà học toán

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.


Xin cảm ơn diễn đàn đã cho tôi những người bạn tuyệt vời....

#2
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.

Mình chỉ xin đóng góp ý kiến:

Ta chú ý nếu $m\leq a \leq M$ thì Max($\left | a \right |$) = Max(M;m)

Ta viết lại y như sau:

$\left | \frac{(1-m)x^{2} + 4x+4-m}{x^{2}+1} \right |$

Đặt biểu thức trong trị tuyệt đối là T

Do mẫu thức luôn dương nên ta nhân hai vế cho mẫu và chuyển về xét một phương trình ẩn x các tham số T và m

Xét trường hợp T = 1-m ta suy ra trực tiếp giá trị của x => giá trị của m thích hợp

Trường hợp còn lại

Ta sẽ dùng điều kiện có nghiệm để chỉ ra các giá trị Max, min của T theo m

Việc còn lại ta chỉ việc tìm max, min của các hàm một biến theo m rồi kết luận nghiệm bài tóan

( Hướng vậy thôi, mọi người góp ý)



#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.

Ta có $y=\frac{\left | (1-m)x^2+4x+4-m \right |}{x^2+1}=\left | \frac{(1-m)x^2+4x+4-m}{x^2+1} \right |=\left | 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1} \right |$

Xét hàm số $z=g(x)=1-m+\frac{4x+3}{x^2+1}$

$g{}'(x)=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}=\frac{-4x^2-6x+4}{(x^2+1)^2}$

$g{}'(x)> 0\Leftrightarrow x\in (-2;\frac{1}{2})$ ; $g{}'(x)< 0\Leftrightarrow x< -2$ hoặc $x> \frac{1}{2}$

---> GTCT của $z$ là $g(-2)=-m$ ; GTCĐ của z là $g(\frac{1}{2})=5-m$

Khi x tiến đến âm vô cực và dương vô cực thì z tiến đến $1-m$

Vậy GTNN của z là $-m$ ; GTLN của z là $5-m$

Xét hàm số $y=f(x)=\left | g(x) \right |$.Có các trường hợp :

$a)$ Nếu $m< 0\rightarrow -m> 0$ ---> GTLN của $y$ là $5-m$ > $5$ (1)

$b)$ Nếu $0\leqslant m\leqslant \frac{5}{2}$.Khi đó $m\leqslant 5-m$ ---> GTLN của $y$ là $5-m\geqslant \frac{5}{2}$ (2)

$c)$ Nếu $m> \frac{5}{2}$.Khi đó $m> 5-m$ ---> GTLN của $y$ là $m> \frac{5}{2}$ (3)

(1),(2),(3) ---> GTLN của $y$ nhỏ nhất bằng $\frac{5}{2}$ khi $m=\frac{5}{2}$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Bài này là THCS mà các bạn :D



#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Bài này là THCS mà các bạn :D

Vậy xin giải lại theo cách THCS :

Ta có $y=\frac{\left | (1-m)x^2+4x+4-m \right |}{x^2+1}=\left | \frac{(1-m)x^2+4x+4-m}{x^2+1} \right |=\left | 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1} \right |$

Mặt khác $(x+2)^2=x^2+4x+4\geqslant 0\rightarrow 4x+3\geqslant -x^2-1\rightarrow \frac{4x+3}{x^2+1}\geqslant -1$ (1)

Và $(2x-1)^2\geqslant 0\rightarrow 4x^2-4x+1\geqslant 0\rightarrow 4x+3\leqslant 4x^2+4\rightarrow \frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 4$ (2)

(1),(2) ---> $-1\leqslant \frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 4$ ---> $-m\leqslant 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 5-m$

---> GTLN của $y$ là số lớn nhất trong 2 số $\left | -m \right |$ và $\left | 5-m \right |$.Xét các trường hợp :

$a)m< 0$.Khi đó $\left | -m \right |< \left | 5-m \right |$ ---> GTLN của $y$ là $\left | 5-m \right |> 5$

$b)0\leqslant m\leqslant \frac{5}{2}$.Khi đó $\left | -m \right |\leqslant \left | 5-m \right |=5-m$ ---> GTLN của y là $5-m\geqslant \frac{5}{2}$

$c)m> \frac{5}{2}$.Khi đó $\left | 5-m \right |< \left | -m \right |=m$ ---> GTLN của y là $m> \frac{5}{2}$

Từ 3 trường hợp trên ---> GTLN của y nhỏ nhất là bằng $\frac{5}{2}$ khi $m=\frac{5}{2}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-10-2013 - 22:23

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh