Đến nội dung

Hình ảnh

đề thi đấu MNF

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
vnm

vnm

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
Cho 1 tập M hữu hạn các điểm và tam giác đều ABC trong mặt phẳng thỏa mãn với mọi tập M' thuộc M có không quá 9 điểm thì tồn tại 2 tam giác đều A'B'C' và A''B''C'' là tịnh tiến của tam giác ABC theo 1 vec tơ nào đó và phủ M'.Chứng minh tồn tại 2 tam giác đều là tịnh tiến của tam giác ABC theo 1 vec tơ nào đó mà phủ mọi điểm của M
The day you were born, you cried but the others were smiling; Live your life in a way that one day you die with a smile and all the others cry

#2
TamTam

TamTam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
TamTam xin đại diện đội ĐN đưa ra lời giải bài rời rạc.

Ta gọi một tam giác đều là $\large good$ nếu nó là ảnh của tam giác $ ABC $ qua một phép tịnh tiến.
Với mỗi tập hữu hạn $U$ (có nhiều hơn $1$ phần tử) các điểm trên mặt phẳng, ta vẽ qua mỗi điểm của nó các đường thẳng song song với các cạnh $ AB,BC,CA $. Các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một tam giác đều, và trong đó, ta xét tam giác $ XYZ $ là tam giác lớn nhất (theo nghĩa chứa tất cả các tam giác còn lại) mà ta sẽ gọi là $\large bao$ của $U$. $ X_1,Y_1,Z_1$ lần lượt là các điểm của $U$ nằm trên $ YZ,ZX,XY $ (có thể có (đúng) hai trong ba điểm $ X_1,Y_1,Z_1$ trùng nhau (trùng với đỉnh của tam giác $ XYZ $). Ta sẽ gọi bộ $ (X_1,Y_1,Z_1) $ là một biên của $U$.
Nhận xét :
(i) Mỗi bộ $ (X_1,Y_1,Z_1) $ xác định duy nhất một tam giác $ XYZ $.
(ii) Một tam giác $ \large good $ nó chứa $U$ khi và chỉ khi nó chứa biên của $U$.
(iii) Một tam giác $ \large good $ chứa $ Y_1,Z_1 $ (tương ứng $ Z_1 $ và $ X_1 $, $X_1$ và $ Y_1 $) thì nó phải chứa cả $ X_1 $ (tương ứng $ Y_1,Z_1 $).
Giả sử $M$ có bao là $ XYZ $ và $1$ biên là $ X_1, Y_1, Z_1 $ (tương ứng thuộc $ YZ, XZ, XY $)
$ \large N:= {X_1, Y_1, Z_1} $.
Xét $2$ điểm $ Y_1, Z_1 $; nếu tồn tại $1$ tam giác $ \large good T $ chứa $ Y_1, Z_1 $ thì theo (iii) nó chứa $X$ và bằng phép tịnh tiến ta có thể coi tam giác đó có $1$ đỉnh là $X$. Ta thêm vào $N$ bộ điểm là biên của tập điểm $M|T$ ($ X_1 \in M|T $ nên $ M|T $ khác rỗng và nếu $ M|T $ chỉ có $1$ phần tử thì kết luận của bài toán là hiển nhiên).
Chú ý rằng luôn có $1$ biên của $ M|T $ chứa $ X_1 $ nên ta có thể xem số phần tử thêm vào $N$ không vượt quá $2$.
Tương tự với các bộ điểm $ Z_1, X_1 $ và $ X_1,Y_1 $.
Số phần tử của $N$ lúc này không quá $ 3+3.2 = 9 $.
Theo giả thiết, tồn tại $2$ tam giác tốt $ Q, Q_1 $ chứa tất cả các điểm của $N$.
Mặt khác không thể cả $ X_1, Y_1, Z_1 $ cùng nằm trong $1$ tam giác nên có thể coi $ Y_1, Z_1 $ thuộc $Q$. Và có thể xem $Q$ trùng $T$.
Các điểm là biên của $ M|Q $ sẽ phải nằm trong $ Q_1 $ và theo (ii) $ Q_1 $ sẽ chứa tất cả các điểm của $ M|T $. Từ đó $ Q $ ∩ $ Q_1 $ sẽ lấp hoàn toàn $M$ (đpcm).
Après la pluie, le beau temps!

#3
manutd

manutd

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 609 Bài viết
tác giả có lời bình j đi chứ :D
các bạn post giải nhanh thật
great lắm
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây

#4
quangpbc

quangpbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
Bài này là bài thi của mathlinks , ai muốn xem lời giải của mathlinks, lên đó tìm thử cái :D

How can i know what the love mean ?


#5
HUYVAN

HUYVAN

    CTCVAK08

  • Hiệp sỹ
  • 1126 Bài viết

Bài này là bài thi của mathlinks , ai muốn xem lời giải của mathlinks, lên đó tìm thử cái :D

Em dẫn link về luôn đi Quang.

#6
quangpbc

quangpbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
Thú thật là em chỉ nghe anh Sơn nói vậy thôi , còn cái link , anh hỏi anh ấy thử xem sao . :D

How can i know what the love mean ?





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh