Cho 1 tập M hữu hạn các điểm và tam giác đều ABC trong mặt phẳng thỏa mãn với mọi tập M' thuộc M có không quá 9 điểm thì tồn tại 2 tam giác đều A'B'C' và A''B''C'' là tịnh tiến của tam giác ABC theo 1 vec tơ nào đó và phủ M'.Chứng minh tồn tại 2 tam giác đều là tịnh tiến của tam giác ABC theo 1 vec tơ nào đó mà phủ mọi điểm của M
đề thi đấu MNF
Bắt đầu bởi vnm, 20-08-2007 - 22:34
#1
Đã gửi 20-08-2007 - 22:34
The day you were born, you cried but the others were smiling; Live your life in a way that one day you die with a smile and all the others cry
#2
Đã gửi 21-08-2007 - 15:40
TamTam xin đại diện đội ĐN đưa ra lời giải bài rời rạc.
Ta gọi một tam giác đều là $\large good$ nếu nó là ảnh của tam giác $ ABC $ qua một phép tịnh tiến.
Với mỗi tập hữu hạn $U$ (có nhiều hơn $1$ phần tử) các điểm trên mặt phẳng, ta vẽ qua mỗi điểm của nó các đường thẳng song song với các cạnh $ AB,BC,CA $. Các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một tam giác đều, và trong đó, ta xét tam giác $ XYZ $ là tam giác lớn nhất (theo nghĩa chứa tất cả các tam giác còn lại) mà ta sẽ gọi là $\large bao$ của $U$. $ X_1,Y_1,Z_1$ lần lượt là các điểm của $U$ nằm trên $ YZ,ZX,XY $ (có thể có (đúng) hai trong ba điểm $ X_1,Y_1,Z_1$ trùng nhau (trùng với đỉnh của tam giác $ XYZ $). Ta sẽ gọi bộ $ (X_1,Y_1,Z_1) $ là một biên của $U$.
Nhận xét :
(i) Mỗi bộ $ (X_1,Y_1,Z_1) $ xác định duy nhất một tam giác $ XYZ $.
(ii) Một tam giác $ \large good $ nó chứa $U$ khi và chỉ khi nó chứa biên của $U$.
(iii) Một tam giác $ \large good $ chứa $ Y_1,Z_1 $ (tương ứng $ Z_1 $ và $ X_1 $, $X_1$ và $ Y_1 $) thì nó phải chứa cả $ X_1 $ (tương ứng $ Y_1,Z_1 $).
Giả sử $M$ có bao là $ XYZ $ và $1$ biên là $ X_1, Y_1, Z_1 $ (tương ứng thuộc $ YZ, XZ, XY $)
$ \large N:= {X_1, Y_1, Z_1} $.
Xét $2$ điểm $ Y_1, Z_1 $; nếu tồn tại $1$ tam giác $ \large good T $ chứa $ Y_1, Z_1 $ thì theo (iii) nó chứa $X$ và bằng phép tịnh tiến ta có thể coi tam giác đó có $1$ đỉnh là $X$. Ta thêm vào $N$ bộ điểm là biên của tập điểm $M|T$ ($ X_1 \in M|T $ nên $ M|T $ khác rỗng và nếu $ M|T $ chỉ có $1$ phần tử thì kết luận của bài toán là hiển nhiên).
Chú ý rằng luôn có $1$ biên của $ M|T $ chứa $ X_1 $ nên ta có thể xem số phần tử thêm vào $N$ không vượt quá $2$.
Tương tự với các bộ điểm $ Z_1, X_1 $ và $ X_1,Y_1 $.
Số phần tử của $N$ lúc này không quá $ 3+3.2 = 9 $.
Theo giả thiết, tồn tại $2$ tam giác tốt $ Q, Q_1 $ chứa tất cả các điểm của $N$.
Mặt khác không thể cả $ X_1, Y_1, Z_1 $ cùng nằm trong $1$ tam giác nên có thể coi $ Y_1, Z_1 $ thuộc $Q$. Và có thể xem $Q$ trùng $T$.
Các điểm là biên của $ M|Q $ sẽ phải nằm trong $ Q_1 $ và theo (ii) $ Q_1 $ sẽ chứa tất cả các điểm của $ M|T $. Từ đó $ Q $ ∩ $ Q_1 $ sẽ lấp hoàn toàn $M$ (đpcm).
Ta gọi một tam giác đều là $\large good$ nếu nó là ảnh của tam giác $ ABC $ qua một phép tịnh tiến.
Với mỗi tập hữu hạn $U$ (có nhiều hơn $1$ phần tử) các điểm trên mặt phẳng, ta vẽ qua mỗi điểm của nó các đường thẳng song song với các cạnh $ AB,BC,CA $. Các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một tam giác đều, và trong đó, ta xét tam giác $ XYZ $ là tam giác lớn nhất (theo nghĩa chứa tất cả các tam giác còn lại) mà ta sẽ gọi là $\large bao$ của $U$. $ X_1,Y_1,Z_1$ lần lượt là các điểm của $U$ nằm trên $ YZ,ZX,XY $ (có thể có (đúng) hai trong ba điểm $ X_1,Y_1,Z_1$ trùng nhau (trùng với đỉnh của tam giác $ XYZ $). Ta sẽ gọi bộ $ (X_1,Y_1,Z_1) $ là một biên của $U$.
Nhận xét :
(i) Mỗi bộ $ (X_1,Y_1,Z_1) $ xác định duy nhất một tam giác $ XYZ $.
(ii) Một tam giác $ \large good $ nó chứa $U$ khi và chỉ khi nó chứa biên của $U$.
(iii) Một tam giác $ \large good $ chứa $ Y_1,Z_1 $ (tương ứng $ Z_1 $ và $ X_1 $, $X_1$ và $ Y_1 $) thì nó phải chứa cả $ X_1 $ (tương ứng $ Y_1,Z_1 $).
Giả sử $M$ có bao là $ XYZ $ và $1$ biên là $ X_1, Y_1, Z_1 $ (tương ứng thuộc $ YZ, XZ, XY $)
$ \large N:= {X_1, Y_1, Z_1} $.
Xét $2$ điểm $ Y_1, Z_1 $; nếu tồn tại $1$ tam giác $ \large good T $ chứa $ Y_1, Z_1 $ thì theo (iii) nó chứa $X$ và bằng phép tịnh tiến ta có thể coi tam giác đó có $1$ đỉnh là $X$. Ta thêm vào $N$ bộ điểm là biên của tập điểm $M|T$ ($ X_1 \in M|T $ nên $ M|T $ khác rỗng và nếu $ M|T $ chỉ có $1$ phần tử thì kết luận của bài toán là hiển nhiên).
Chú ý rằng luôn có $1$ biên của $ M|T $ chứa $ X_1 $ nên ta có thể xem số phần tử thêm vào $N$ không vượt quá $2$.
Tương tự với các bộ điểm $ Z_1, X_1 $ và $ X_1,Y_1 $.
Số phần tử của $N$ lúc này không quá $ 3+3.2 = 9 $.
Theo giả thiết, tồn tại $2$ tam giác tốt $ Q, Q_1 $ chứa tất cả các điểm của $N$.
Mặt khác không thể cả $ X_1, Y_1, Z_1 $ cùng nằm trong $1$ tam giác nên có thể coi $ Y_1, Z_1 $ thuộc $Q$. Và có thể xem $Q$ trùng $T$.
Các điểm là biên của $ M|Q $ sẽ phải nằm trong $ Q_1 $ và theo (ii) $ Q_1 $ sẽ chứa tất cả các điểm của $ M|T $. Từ đó $ Q $ ∩ $ Q_1 $ sẽ lấp hoàn toàn $M$ (đpcm).
Après la pluie, le beau temps!
#3
Đã gửi 22-08-2007 - 22:33
tác giả có lời bình j đi chứ
các bạn post giải nhanh thật
great lắm
các bạn post giải nhanh thật
great lắm
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây
#4
Đã gửi 23-08-2007 - 20:00
Bài này là bài thi của mathlinks , ai muốn xem lời giải của mathlinks, lên đó tìm thử cái
How can i know what the love mean ?
#5
Đã gửi 24-08-2007 - 09:07
Em dẫn link về luôn đi Quang.Bài này là bài thi của mathlinks , ai muốn xem lời giải của mathlinks, lên đó tìm thử cái
#6
Đã gửi 24-08-2007 - 10:44
Thú thật là em chỉ nghe anh Sơn nói vậy thôi , còn cái link , anh hỏi anh ấy thử xem sao .
How can i know what the love mean ?
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh