Trong cuốn tập 2 - Đại số cũng có khá nhiều bài hay. Các bài toán trong kỳ thi cũng biến tấu từ trong này ra nhiều. Anh em có bài nào chưa làm được hay có cách giải hay thì post lên cùng thảo luận. Làm thử 3 bài này nha!
P1. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. thỏa mãn:
$AB=BA, A^{1997}=E, B^{1998}=E$
Chứng minh rằng $A+B+E$ khả nghịch
P2. Cho $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n+1}$ các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng luôn tồn tại các số: $x_{1}, x_{2}..., x_{n+1}$ sao cho ma trận
$x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+...+x_{n+1}A_{n+1}$ suy biến
P3. Giả sử $A= (a_{ij})$ là ma trận vuông cấp p+q với $a_{ij}=0$ khi i, j thuộc {1, 2, .., p} hoặc {p+1, p+2, ...p+q}. Chứng minh rằng nếu m là giá trị riêng của A thì -m cũng là giá trị riêng của A.
Toan OLIMPIC cho sinh viên - Tập 2
Bắt đầu bởi toanA37, 26-08-2007 - 00:50
#1
Đã gửi 26-08-2007 - 00:50
#2
Đã gửi 31-12-2008 - 20:07
P1:
xét $(A+B)^{4001}=0 $ do khi khai triển ta có các số hạng: $A^i $.$B^j=0$,do trong đó $i>1999$hoặc $j>1999$
$I+(A+B)^{4001}=I$
từ đó $I+A+B$ khả nghịch do sử dụng gt AB=BA,ta có khai triển thành tích
xét $(A+B)^{4001}=0 $ do khi khai triển ta có các số hạng: $A^i $.$B^j=0$,do trong đó $i>1999$hoặc $j>1999$
$I+(A+B)^{4001}=I$
từ đó $I+A+B$ khả nghịch do sử dụng gt AB=BA,ta có khai triển thành tích
ZARATHUSTRA đã nói như thế (NIETZSCHE)
#3
Đã gửi 31-12-2008 - 23:35
Sai rồi. Bài này cần chứng minh $A+B+E$ không có trị riêng bằng $0$. Sử dụng tính nguyên tố của đa thức là okP1:
xét $(A+B)^{4001}=0 $ do khi khai triển ta có các số hạng: $A^i $.$B^j=0$,do trong đó $i>1999$hoặc $j>1999$
$I+(A+B)^{4001}=I$
từ đó $I+A+B$ khả nghịch do sử dụng gt AB=BA,ta có khai triển thành tích
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#4
Đã gửi 01-01-2009 - 11:39
ta có $I+X^{4001}=(I+X)(I-X+...+X^{4000})=I$;
từ đó $(I-X+..+X^4000)$ là ma trận nghịch đảo của $I+X $
em thấy đúng mà, anh giải thích cụ thể được không
từ đó $(I-X+..+X^4000)$ là ma trận nghịch đảo của $I+X $
em thấy đúng mà, anh giải thích cụ thể được không
ZARATHUSTRA đã nói như thế (NIETZSCHE)
#5
Đã gửi 01-01-2009 - 16:39
ui,ngai quá,em nhin nhầm đề bài,các huynh bỏ quá
p3:
sử dụng kết quả detA=0 với A bậc lẻ có tính chất:$ a_ij=0$ với i,j thuộc {1,...,p}hoặc i,j thuộc {p+1,...,n}
và kết quả det(A-tI) có hệ số của (-t)^k là tổng tất cả các định thức con cấp k đối xứng qua đường chéo
hi vọng không sai nữa
p3:
sử dụng kết quả detA=0 với A bậc lẻ có tính chất:$ a_ij=0$ với i,j thuộc {1,...,p}hoặc i,j thuộc {p+1,...,n}
và kết quả det(A-tI) có hệ số của (-t)^k là tổng tất cả các định thức con cấp k đối xứng qua đường chéo
hi vọng không sai nữa
ZARATHUSTRA đã nói như thế (NIETZSCHE)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh