Chủ đề này có 4 trả lời

[toanA37]

Trong cuốn tập 2 - Đại số cũng có khá nhiều bài hay. Các bài toán trong kỳ thi cũng biến tấu từ trong này ra nhiều. Anh em có bài nào chưa làm được hay có cách giải hay thì post lên cùng thảo luận. Làm thử 3 bài này nha!

P1. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. thỏa mãn:
$AB=BA, A^{1997}=E, B^{1998}=E$
Chứng minh rằng $A+B+E$ khả nghịch

P2. Cho $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n+1}$ các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng luôn tồn tại các số: $x_{1}, x_{2}..., x_{n+1}$ sao cho ma trận
$x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+...+x_{n+1}A_{n+1}$ suy biến

P3. Giả sử $A= (a_{ij})$ là ma trận vuông cấp p+q với $a_{ij}=0$ khi i, j thuộc {1, 2, .., p} hoặc {p+1, p+2, ...p+q}. Chứng minh rằng nếu m là giá trị riêng của A thì -m cũng là giá trị riêng của A.

[2007vmo]

P1:
xét $(A+B)^{4001}=0 $ do khi khai triển ta có các số hạng: $A^i $.$B^j=0$,do trong đó $i>1999$hoặc $j>1999$
$I+(A+B)^{4001}=I$
từ đó $I+A+B$ khả nghịch do sử dụng gt AB=BA,ta có khai triển thành tích

[tanlsth]

P1:
xét $(A+B)^{4001}=0 $ do khi khai triển ta có các số hạng: $A^i $.$B^j=0$,do trong đó $i>1999$hoặc $j>1999$
$I+(A+B)^{4001}=I$
từ đó $I+A+B$ khả nghịch do sử dụng gt AB=BA,ta có khai triển thành tích

Sai rồi. Bài này cần chứng minh $A+B+E$ không có trị riêng bằng $0$. Sử dụng tính nguyên tố của đa thức là ok

[2007vmo]

ta có $I+X^{4001}=(I+X)(I-X+...+X^{4000})=I$;
từ đó $(I-X+..+X^4000)$ là ma trận nghịch đảo của $I+X $

em thấy đúng mà, anh giải thích cụ thể được không

[2007vmo]

ui,ngai quá,em nhin nhầm đề bài,các huynh bỏ quá

p3:

sử dụng kết quả detA=0 với A bậc lẻ có tính chất:$ a_ij=0$ với i,j thuộc {1,...,p}hoặc i,j thuộc {p+1,...,n}
và kết quả det(A-tI) có hệ số của (-t)^k là tổng tất cả các định thức con cấp k đối xứng qua đường chéo

hi vọng không sai nữa