Chủ đề này có 7 trả lời

[rox_rook]

Mình đang học hàm số hyperbolic có dạng sau :
$sinh = (e^{x} - e^{-x})/2 $
$cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $

khi xác định hàm số ngược ( inverse function ) thì ta có công thức là :
$sinh^{-1} = ln(x + \sqrt{x^2 + 1 }$
và miền xác định là $ ( -{\infty} , +{\infty} ) $
$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
và mình xác định là $ ( 1, +{\infty} ) $

Nhưng khi CM công thức từ cosh ( hoặc sinh ) thì mình có như sau :
Đặt :
$ y = cosh^{-1}x <-> cosh y = x $

$ --> e^{y} + e^{-y} = 2x $

$ <-> e^{2y} + 1 = 2x.e^{y} $

$ <-> e^{2y} - 2x.e^{y} + 1 = 0 $

Ta có $ \Delta' = \sqrt{x^2 - 1 } $

$--> e^{y} = x \pm \sqrt{x^2 - 1 }$

$ --> y = cosh^{-1} = ln ( x \pm \sqrt{x^2 - 1} ) $

Tại sao sách nó lại bỏ dấu trừ đi nhỉ, các bạn có thể giải thích dùm mình được không ? Cám ơn các bạn trước nhé

[kakalot]

Cho no co nghia !

[Niels Henrik Abel]

x nhận giá trị từ 1 đến dương quá ( dương vô cg` ) do đó dấu trừ thì nó vẫn có nghĩa , ng` ta dg` dấu + vì hàm cosh có 2 nhánh đối xứng , và + hay - chính là việc chọn ra 1 nhánh , hi vọng các thầy có nói về cái này

[rox_rook]

xin lỗi hình như 2 bạn không hiểu rõ vấn đề thì phải ! Cái cosh mũ -1 là hàm ngược mà sao lại cho nó có nghĩa và cái nào cũng được hix hix ?

[Niels Henrik Abel]

thế anh nói về dấu trừ ở đâu , chẳng phải ở chỗ $ln( x + - sqrt{x^{2} +1})$ sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Niels Henrik Abel: 12-09-2007 - 07:52

[Dava_Truong]

Mình đang học hàm số hyperbolic có dạng sau :
$sinh = (e^{x} - e^{-x})/2 $
$cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $

khi xác định hàm số ngược ( inverse function ) thì ta có công thức là :
$sinh^{-1} = ln(x + \sqrt{x^2 + 1 }$
và miền xác định là $ ( -{\infty} , +{\infty} ) $
$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
và mình xác định là $ ( 1, +{\infty} ) $

Nhưng khi CM công thức từ cosh ( hoặc sinh ) thì mình có như sau :
Đặt :
$ y = cosh^{-1}x <-> cosh y = x $

$ --> e^{y} + e^{-y} = 2x $

$ <-> e^{2y} + 1 = 2x.e^{y} $

$ <-> e^{2y} - 2x.e^{y} + 1 = 0 $

Ta có $ \Delta' = \sqrt{x^2 - 1 } $

$--> e^{y} = x \pm \sqrt{x^2 - 1 }$

$ --> y = cosh^{-1} = ln ( x \pm \sqrt{x^2 - 1} ) $

Tại sao sách nó lại bỏ dấu trừ đi nhỉ, các bạn có thể giải thích dùm mình được không ? Cám ơn các bạn trước nhé

Hàm $ \ frac {$e^x$ + $e^-x$}{2}$ là hàm ko đơn điệu trên R mà chỉ đơn điệu trong R+ hoặc R-.Vì vậy chỉ xét hàm ngược của nó trong:R+ đến (x \ge 1)
hoặc R- đến (x \ge 1).
Xét phương trình sau:(y \ge 1)
$ --> e^{x} + e^{-x} = 2y $

$ <-> e^{2yx} + 1 = 2y.e^{x} $

$ <-> e^{2x} - 2x.e^{x} + 1 = 0 $

Ta có $ \Delta' = \sqrt{y^2 - 1 } $

$--> e^{x} = y \pm \sqrt{y^2 - 1 }$
Nếu xét trong R+ đến (x \ge 1) thì dễ thấy

$e^x$ >1 suy ra $ e^x=y+ \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $

Nếu xét trong R- đến (x \ge 1) thì dễ thấy:

$e^x$ <1 suy ra $ e^x=y- \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x - \sqrt{x^2 - 1 } ) $.

Tóm lại là phải xét trong các đoạn mà hàm $ \ frac {$e^x$ + $e^-x$}{2}$ đơn điệu!

[Dava_Truong]

Mình đang học hàm số hyperbolic có dạng sau :
$sinh = (e^{x} - e^{-x})/2 $
$cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $

khi xác định hàm số ngược ( inverse function ) thì ta có công thức là :
$sinh^{-1} = ln(x + \sqrt{x^2 + 1 }$
và miền xác định là $ ( -{\infty} , +{\infty} ) $
$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
và mình xác định là $ ( 1, +{\infty} ) $

Nhưng khi CM công thức từ cosh ( hoặc sinh ) thì mình có như sau :
Đặt :
$ y = cosh^{-1}x <-> cosh y = x $

$ --> e^{y} + e^{-y} = 2x $

$ <-> e^{2y} + 1 = 2x.e^{y} $

$ <-> e^{2y} - 2x.e^{y} + 1 = 0 $

Ta có $ \Delta' = \sqrt{x^2 - 1 } $

$--> e^{y} = x \pm \sqrt{x^2 - 1 }$

$ --> y = cosh^{-1} = ln ( x \pm \sqrt{x^2 - 1} ) $

Tại sao sách nó lại bỏ dấu trừ đi nhỉ, các bạn có thể giải thích dùm mình được không ? Cám ơn các bạn trước nhé

Hàm $cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $ là hàm ko đơn điệu trên R mà chỉ đơn điệu trong R+ hoặc R-.Vì vậy chỉ xét hàm ngược của nó trong:R+ đến (tập các số >= 1)
hoặc R- đến (tập các số>= 1).
Xét phương trình sau:(y >= 1)
$ --> e^{x} + e^{-x} = 2y $

$ <-> e^{2yx} + 1 = 2y.e^{x} $

$ <-> e^{2x} - 2x.e^{x} + 1 = 0 $

Ta có $ \Delta' = \sqrt{y^2 - 1 } $

$--> e^{x} = y \pm \sqrt{y^2 - 1 }$
Nếu xét trong R+ đến (tập các số>= 1) thì dễ thấy

$e^x$ >1 suy ra $ e^x=y+ \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $

Nếu xét trong R- đến (tập các số >= 1) thì dễ thấy:

$e^x$ <1 suy ra $ e^x=y- \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x - \sqrt{x^2 - 1 } ) $.

Tóm lại là phải xét trong các đoạn mà hàm $cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $đơn điệu!

[rox_rook]

cám ơn bạn Dava Truong nhiều ! để có hàm ngược thì F(x) phải đơn điệu ! mà nó không đơn điệu trên toàn R nên việc bỏ dấu trừ là có thể hiểu được ! Thanks again !