Hàm số Hyperbolic !
#1
Đã gửi 31-08-2007 - 12:43
$sinh = (e^{x} - e^{-x})/2 $
$cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $
khi xác định hàm số ngược ( inverse function ) thì ta có công thức là :
$sinh^{-1} = ln(x + \sqrt{x^2 + 1 }$
và miền xác định là $ ( -{\infty} , +{\infty} ) $
$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
và mình xác định là $ ( 1, +{\infty} ) $
Nhưng khi CM công thức từ cosh ( hoặc sinh ) thì mình có như sau :
Đặt :
$ y = cosh^{-1}x <-> cosh y = x $
$ --> e^{y} + e^{-y} = 2x $
$ <-> e^{2y} + 1 = 2x.e^{y} $
$ <-> e^{2y} - 2x.e^{y} + 1 = 0 $
Ta có $ \Delta' = \sqrt{x^2 - 1 } $
$--> e^{y} = x \pm \sqrt{x^2 - 1 }$
$ --> y = cosh^{-1} = ln ( x \pm \sqrt{x^2 - 1} ) $
Tại sao sách nó lại bỏ dấu trừ đi nhỉ, các bạn có thể giải thích dùm mình được không ? Cám ơn các bạn trước nhé
#2
Đã gửi 11-09-2007 - 00:22
#3
Đã gửi 11-09-2007 - 17:55
#4
Đã gửi 12-09-2007 - 03:40
#5
Đã gửi 12-09-2007 - 07:40
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Niels Henrik Abel: 12-09-2007 - 07:52
#6
Đã gửi 12-09-2007 - 15:01
Mình đang học hàm số hyperbolic có dạng sau :
$sinh = (e^{x} - e^{-x})/2 $
$cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $
khi xác định hàm số ngược ( inverse function ) thì ta có công thức là :
$sinh^{-1} = ln(x + \sqrt{x^2 + 1 }$
và miền xác định là $ ( -{\infty} , +{\infty} ) $
$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
và mình xác định là $ ( 1, +{\infty} ) $
Nhưng khi CM công thức từ cosh ( hoặc sinh ) thì mình có như sau :
Đặt :
$ y = cosh^{-1}x <-> cosh y = x $
$ --> e^{y} + e^{-y} = 2x $
$ <-> e^{2y} + 1 = 2x.e^{y} $
$ <-> e^{2y} - 2x.e^{y} + 1 = 0 $
Ta có $ \Delta' = \sqrt{x^2 - 1 } $
$--> e^{y} = x \pm \sqrt{x^2 - 1 }$
$ --> y = cosh^{-1} = ln ( x \pm \sqrt{x^2 - 1} ) $
Tại sao sách nó lại bỏ dấu trừ đi nhỉ, các bạn có thể giải thích dùm mình được không ? Cám ơn các bạn trước nhé
Hàm $ \ frac {$e^x$ + $e^-x$}{2}$ là hàm ko đơn điệu trên R mà chỉ đơn điệu trong R+ hoặc R-.Vì vậy chỉ xét hàm ngược của nó trong:R+ đến (x \ge 1)
hoặc R- đến (x \ge 1).
Xét phương trình sau:(y \ge 1)
$ --> e^{x} + e^{-x} = 2y $
$ <-> e^{2yx} + 1 = 2y.e^{x} $
$ <-> e^{2x} - 2x.e^{x} + 1 = 0 $
Ta có $ \Delta' = \sqrt{y^2 - 1 } $
$--> e^{x} = y \pm \sqrt{y^2 - 1 }$
Nếu xét trong R+ đến (x \ge 1) thì dễ thấy
$e^x$ >1 suy ra $ e^x=y+ \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
Nếu xét trong R- đến (x \ge 1) thì dễ thấy:
$e^x$ <1 suy ra $ e^x=y- \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x - \sqrt{x^2 - 1 } ) $.
Tóm lại là phải xét trong các đoạn mà hàm $ \ frac {$e^x$ + $e^-x$}{2}$ đơn điệu!
#7
Đã gửi 12-09-2007 - 15:04
Mình đang học hàm số hyperbolic có dạng sau :
$sinh = (e^{x} - e^{-x})/2 $
$cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $
khi xác định hàm số ngược ( inverse function ) thì ta có công thức là :
$sinh^{-1} = ln(x + \sqrt{x^2 + 1 }$
và miền xác định là $ ( -{\infty} , +{\infty} ) $
$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
và mình xác định là $ ( 1, +{\infty} ) $
Nhưng khi CM công thức từ cosh ( hoặc sinh ) thì mình có như sau :
Đặt :
$ y = cosh^{-1}x <-> cosh y = x $
$ --> e^{y} + e^{-y} = 2x $
$ <-> e^{2y} + 1 = 2x.e^{y} $
$ <-> e^{2y} - 2x.e^{y} + 1 = 0 $
Ta có $ \Delta' = \sqrt{x^2 - 1 } $
$--> e^{y} = x \pm \sqrt{x^2 - 1 }$
$ --> y = cosh^{-1} = ln ( x \pm \sqrt{x^2 - 1} ) $
Tại sao sách nó lại bỏ dấu trừ đi nhỉ, các bạn có thể giải thích dùm mình được không ? Cám ơn các bạn trước nhé
Hàm $cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $ là hàm ko đơn điệu trên R mà chỉ đơn điệu trong R+ hoặc R-.Vì vậy chỉ xét hàm ngược của nó trong:R+ đến (tập các số >= 1)
hoặc R- đến (tập các số>= 1).
Xét phương trình sau:(y >= 1)
$ --> e^{x} + e^{-x} = 2y $
$ <-> e^{2yx} + 1 = 2y.e^{x} $
$ <-> e^{2x} - 2x.e^{x} + 1 = 0 $
Ta có $ \Delta' = \sqrt{y^2 - 1 } $
$--> e^{x} = y \pm \sqrt{y^2 - 1 }$
Nếu xét trong R+ đến (tập các số>= 1) thì dễ thấy
$e^x$ >1 suy ra $ e^x=y+ \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x + \sqrt{x^2 - 1 } ) $
Nếu xét trong R- đến (tập các số >= 1) thì dễ thấy:
$e^x$ <1 suy ra $ e^x=y- \sqrt{y^2-1}$.Do đó hàm ngược là:$cosh^{-1}= ln(x - \sqrt{x^2 - 1 } ) $.
Tóm lại là phải xét trong các đoạn mà hàm $cosh = (e^{x} + e^{-x})/2 $đơn điệu!
#8
Đã gửi 13-09-2007 - 00:56
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh