Chủ đề này có 5 trả lời

[Alexi Laiho]

Topic này là dành cho hình học cổ điển, tuy nói là cổ điển nhưng vấn đề Classification (phân loại) vẫn còn là 1 open problem rất lớn, ví dụ higher algebraic geometry, Mori program... 1 dấu hiệu phân biệt khác với việc phân loại trong hình học vi phân hay topo, đó là việc phân loại trong hình học cổ điển được thực hiện thông qua tương đương song hữu tỷ (birational equivalence). 1 số con số đóng vai trò quan trọng trong hình học cổ điển có thể nói là số Irregulator $q$ và giống hình học (geometric genus) (khi xét mặt đại số). Ngoài bài toán phân loại thì vấn đề Intersection theory trên mặt đại số cũng là 1 topic hay, có thể điểm qua vài định lý nổi tiếng ví dụ như định lý 27 đường trên 1 mặt cubic (mặt bậc 3).

Topic này không những chỉ phù hợp cho sinh viên mà học sinh với kiến thức vững về Combinatorics cũng đã có thể hiểu vài vấn đề. Hình học cổ điển cho chúng ta thấy các ví dụ ứng dụng rất elegant từ lý thuyết nhóm hữu hạn với các kiến thức vô cùng đơn giản, ví dụ như p-nhóm Sylow (ứng dụng vào việc nghiên cứu nhóm Cremona, nhóm các phép biến đổi birational trên mặt phẳng xạ ảnh). Mặt khác người ta cũng có thể đi chuyên sâu vào các vấn đề bên inverse problem của Galois theory (trên thực tế thì lý thuyết Galois ở đây hầu như chỉ là siêu việt, not algebraic). Ngoài ra người ta cũng có thể dùng tới lý thuyết biểu diễn nhóm nửa đơn (Weyl groups, Dynkin diagram, Lattice, các loại kỳ dị ADE...). Hy vọng topic sẽ có thể vươn tới các vấn đề còn thú vị hơn ví dụ như lược đồ Hilbert, không gian Moduli...

1 Literature người ta có thể tìm hiểu về hình học cổ điển (over C) là cuốn classical algebraic geometry của Dolgachev, có free trên mạng. Cuốn khác làm trên trường tổng quát hơn là Cubic forms của Manin. Những ai đã có 1 nền tảng vững chắc về hình học đại số hiện đại thì việc tìm hiểu thêm hình học cổ điển cũng là 1 điều thú vị nên làm, tùy theo sức người. Ai lớn thì giải quyết problem lớn, nhỏ thì có thể chứng minh lại toàn bộ kết quả trong sách của Dolgachev bằng ngôn ngữ hình học đại số hiện đại, bởi nói chung cuốn Dolgachev ngôn ngữ cổ điển nên tương đối phức tạp, thiên về hình dung và chứng minh định tính.

[QHHH]

Topic này đúng là rất hay, em rất quan tâm vấn đề này từ năm thứ 1, hôm qua tình cờ em đọc được 1 vài ý từ blog thầy Diệp, vậy bác nào có thể nói qua về lược đồ phân loại hh của F.Klein trong 100 năm không ạ, thêm nữa em đọc bài báo của thầy Diệp có một ý nói là việc phân loại hh đưa về bài toán phân loại nhóm liên tục ??? bác nào có thể giải thích rõ hơn không ạ?

[Alexi Laiho]

Tôi không rõ việc phân loại hình học theo Felix Klein là như thế nào. Cái này chắc dựa trên lý thuyết nhóm. Còn trong hình học đại số, việc phân loại được hiểu theo nghĩa minimal model program, đề xuất bởi Mori (giải thưởng Fields). Phân loại ở đây được hiểu 1 cách thô thiển nhất là phân loại các đa tạp đại số chính xác tới 1 cấu xạ song hữu tỷ. Mặc dù song hữu tỷ là 1 phân loại tồi. Chẳng hạn mặt cực tiểu Hirzebruch $\mathbb{F}_0$ vẫn song hữu tỷ với nổ của mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2$ tại $r$ điểm (in general position) với $r \leq 8$. Cho dù các tính chất hình học của 2 loại mặt này rất khác nhau, cụ thể mặt cực tiểu không tồn tại đường cong với self-intersection number -1, tuy nhiên ở loại mặt thứ 2 thì có.

Có thể hiểu song hữu tỷ đơn giản như là trường hàm của chúng đẳng cấu với nhau. Ở trường hợp 2 chiều thì các mặt đại số hầu như có lẽ đã được giải quyết (có thể xem bảng), chúng gồm các loại mặt K3, Enrichques... Tuy nhiên với 3-folds thì hiện tại vẫn còn quá nhiều open problems. Vấn đề phân loại/đếm (enumerative) trong hình học đại số cũng thú vị ngay cả trong vật lý, chẳng hạn quintic 3-folds trong quantum cohomology, hoặc Misterious duality trong M-theory based on Del Pezzo surfaces...

[Alexi Laiho]

Đang gặp 1 vấn đề khó về hình học cổ điển, hy vọng có ai đó giúp đỡ. Cho $X$ là base locus (scheme-theoretical union of base-points) của 1 pencil $t_0 Q_0 + t_1 Q_1$ của các quadrics. Cmr: từ pt định thức (determinant equation) suy ra $X$ chứa 5 quadrics kỳ dị (with multiplicities).

[mathman145]

Topic này đúng là rất hay, em rất quan tâm vấn đề này từ năm thứ 1, hôm qua tình cờ em đọc được 1 vài ý từ blog thầy Diệp, vậy bác nào có thể nói qua về lược đồ phân loại hh của F.Klein trong 100 năm không ạ, thêm nữa em đọc bài báo của thầy Diệp có một ý nói là việc phân loại hh đưa về bài toán phân loại nhóm liên tục ??? bác nào có thể giải thích rõ hơn không ạ?

Cái này thì nên đọc bản giới thiệu về chương trình Langlands của thầy thì sẽ hiểu hơn. Ở đây chỉ tóm lược vài chi tiết dựa vào ý hiểu còn nông cạn.
Vào khoảng thế kỷ thứ XIX, có sự tồn tại của nhiều hình học (Euclid, Lobachevski, Riemann, xạ ảnh, afin,...). Có nhiều ý tưởng phân loại các hình học này nhưng không chưa đánh được vảo bản chất của nó, và đến khi Felix Klein đề xuất ý tưởng phân loại dựa vào nhóm biến đổi trong mỗi hình học thì lập tức nổi tiếng.
Nhóm biến đổi trong mỗi hình học là nhóm các phép biến đổi được coi là một đồng nhất 2 vật thể trong hình học đó. Ví dụ: HÌnh học Euclide có phép quay, tịnh tiến ( do đó ta có nhóm $O(n) \times T$), hình học xạ ảnh có phép vị tự, hh afin có nhóm các phép biến đổi afin, hh Lobachevski ( là phép trượt ??),...
Dự kiến chương trình kéo dài khoảng 300 năm nữa.
Xem ở đây: http://diendantoanho...showtopic=34507 để biết thêm các bình luận.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathman145: 23-10-2007 - 18:33

[Alexi Laiho]

thanks everyone, i think i get the answer. From now on i have seen the connection between C-geometry and F_q-geometry better.