$f(f(n))=n,n|\left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right )$
#1
Đã gửi 27-04-2005 - 16:20
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $
$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$
- Math Is Love, WhjteShadow, ntuan5 và 4 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 12-02-2013 - 19:40
Em mới học lớp 10 nên chưa rành cái này nên làm thử:Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $
$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$
Do $f(f(n))=n$ nên suy ra $f(f(1))<f(f(2))<...<f(f(n))$
$\Rightarrow f(f(n+1))>f(f(n))\Rightarrow f(n+1)>f(n)$ hoặc $f(n+1)<f(n)$ với mọi số nguyên dương n
*Xét $f(n+1)>f(n)$:
Vì $ f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* $ nên suy ra $f(n+1)\geq f(n)+1$
Ta có: $$n+2=(n+1)+1=f(f(n+1))+1\geq f(f(n)+1)+1\geq f(f(n))+1+1=n+2$$
Suy ra $f(f(n+1))=f(f(n)+1)$ $\Rightarrow f(n+1)=f(n)+1$ (1)
Trong (1): thay lần lượt $n=1,2,3...$ ta đi đến $f(n)=f(1)+n-1\Leftrightarrow f(n)-n=f(1)-1,\forall n\in \mathbb{N}^* $ (2)
Do (2) luôn đúng $\forall n\in \mathbb{N}^*$ nên từ (2) ta có: $$ f(f(1))-f(1)=f(1)-1\Leftrightarrow 2f(1)=2\Leftrightarrow f(1)=1$$
Thay $f(1)=1$ vào (2) ta được: $f(n)=n$
Thử lại thì hàm $f(n)=n$ không thỏa điều kiện $(ii)$ vì khi đó $$ n\bigg |\frac{n(n+1)}{2}$$. Điều này sai khi $n+1$ là số chẵn
*Xét $f(n+1)<f(n)$ cũng tương tự như trường hợp trên nhưng ta loại vì $n+1>n$ với mọi số nguyên dương n
Vậy không tồn tại hàm $f(n)$ thỏa bài toán
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 14-02-2013 - 12:17
- E. Galois, hoangkkk và Pham The Quang 6c thích
#3
Đã gửi 13-02-2013 - 10:36
Em suy cái này sao hay vậy? Chẳng có giả thiết hay chứng minh nào của em cho thấy $f$ đồng biến và hoặc $f$ đơn ánh, thì làm sao em có được?Ta có: $$n+2=(n+1)+1=f(f(n+1))+1\geq f(f(n)+1)+1\geq f(f(n))+1+1=n+2$$
Suy ra $f(f(n+1))=f(f(n)+1)$ $\Rightarrow f(n+1)=f(n)+1$ (1)
- Bdu mi yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 13-02-2013 - 19:02
Nói thật với anh: cái anh nói là em dựa trên 1 đoạn trong bài toán của Phan Huy Khải với đề bài như sau:Em suy cái này sao hay vậy? Chẳng có giả thiết hay chứng minh nào của em cho thấy $f$ đồng biến và hoặc $f$ đơn ánh, thì làm sao em có được?
"Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
1) $f(n+1)>f(n)$ với mọi số nguyên dương n
2) $f(f(n))=n+2004$ với mọi số nguyên dương n "
#5
Đã gửi 13-02-2013 - 19:03
#6
Đã gửi 13-02-2013 - 22:39
Nói ví dụ thế này: nếu câu như trên thì nó sẽ có th như vầy $f(3)>f(1)>f(2)$.
- Primary yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#7
Đã gửi 14-02-2013 - 12:18
Nếu như vậy thì anh có thể dự đoán 1 hàm $f$ nào đó thỏa bài toán được khôngEm chưa hiểu rõ hết ý nghĩa của câu "với mọi $n$: $f(n+1)>f(n)$ hoặc $f(n+1)<f(n)$".
Nói ví dụ thế này: nếu câu như trên thì nó sẽ có th như vầy $f(3)>f(1)>f(2)$.
#8
Đã gửi 14-02-2013 - 17:20
#10
Đã gửi 14-02-2013 - 19:32
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 15/02 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#11
Đã gửi 15-04-2013 - 20:29
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $
$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$
Mình thấy nên đổi đề bài là chứng minh tồn tại vô số hàm thỏa mãn sẽ tốt hơn .
Giả sử ta xác định được $f(1),f(2),...,f(k)$ thỏa mãn.
Cho $D_k=\left \{1,2,3,...,k,f(1),f(2),...,f(k) \right \}$ và $S_k=\sum^k_{i=1} f(i)$
Cho $f(k+2)=\min(N^*\setminus \left \{D_k;k+1;k+2;k+3\right \})$ do $(k+1;k+2)=1$ ( Định lí đồng dư Trung Hoa ) nên luôn tồn tại $f(k+1) \in N^*\setminus D_k$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix}
f(k+1) \equiv -S_k \pmod{k+1}\\
f(k+1) \equiv -S_k-f(x+2) \pmod{k+2}
\end{matrix}\right.$$
Với cách xác định như vậy thì hoàn toàn có thể lập được hàm $f$ thỏa mãn đề bài
Mà do $f(1)$ luôn xác định nên với mỗi $f(1)$ ta có thể lập được ít nhất 1 hàm $f$ thỏa mãn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 16-04-2013 - 12:29
- perfectstrong, hoangkkk và nhungvienkimcuong thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh