Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$V1 \leq \dfrac{1}{27}V$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Harry Potter

Harry Potter

    Kẻ Được Chọn

  • Hiệp sỹ
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:SG
  • Sở thích:Stochastic Objects

Đã gửi 22-09-2007 - 16:55

Cho tứ diện $SABC$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý trong đáy $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA;SB;SC$. Các đường đó lần lượt cắt các mặt $SBC ; SAC ; SAB$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $V_1$ là thể tích tứ diện $M.A_1B_1C_1$. Hãy chứng minh:
$$V1 \leq \dfrac{1}{27}V$$


We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
 


#2 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 23-08-2013 - 12:19

Giả sử $AM,BM,CN$ cắt $BC,AC,AB$ tại $A_{2},B_{2},C_{2}$

Ta có: $\frac{MA_{1}}{SA}=\frac{MA_{2}}{AA_{2}}, \frac{MB_{1}}{SB}=\frac{MB_{2}}{BB_{2}},\frac{MC_{1}}{SC}=\frac{MC_{2}}{CC_{2}}$

Mà $\frac{MA_{2}}{AA_{2}}+\frac{MB_{2}}{BB_{2}}+\frac{MC_{2}}{CC_{2}}=\frac{S_{BCM}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ACM}}{ABC}+\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=1$$\Rightarrow \frac{MA_{1}}{SA}+\frac{MB_{1}}{SB}+\frac{MC_{1}}{SC}=1 (+)$

Mặt khác ta thấy $MA_{1}\parallel SA,MB_{1}\parallel SB,MC_{1}\parallel SC\Rightarrow$ các góc đỉnh $M=$ các góc đỉnh $S$ của $S.ABC$

$\Rightarrow$ Trên $SA,SB,SC$ ta đặt được hình chóp $M.A_{1}B_{1}C_{1}$ lên các cạnh sao cho $SA_{1}=MA_{1}, SB_{1}=MB_{1},SC_{1}=MC_{1}$

$\Rightarrow$ $V_{M.A_{1}B_{1}C_{1}} =V_{S.A_{1}B_{1}C_{1}}$

$\Rightarrow \frac{V_{M.A_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{S.ABC}}=\frac{V_{S.A_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{S.ABC}}$$=\frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}(++)$

Từ $(+)$ $\Rightarrow$$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA}+\frac{SB_{1}}{SB}+\frac{SC_{1}}{SC}=1$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$1\geq 3\sqrt[3]{\frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}}\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}\leq \frac{1}{27}$

Từ $(++)$ $\Rightarrow V_{1}\leq \frac{1}{27}V\Rightarrow đpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 23-08-2013 - 19:47





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh