Chủ đề này có 1 trả lời

[Harry Potter]

Cho tứ diện $SABC$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý trong đáy $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA;SB;SC$. Các đường đó lần lượt cắt các mặt $SBC ; SAC ; SAB$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $V_1$ là thể tích tứ diện $M.A_1B_1C_1$. Hãy chứng minh:
$$V1 \leq \dfrac{1}{27}V$$

[AnnieSally]

Giả sử $AM,BM,CN$ cắt $BC,AC,AB$ tại $A_{2},B_{2},C_{2}$

Ta có: $\frac{MA_{1}}{SA}=\frac{MA_{2}}{AA_{2}}, \frac{MB_{1}}{SB}=\frac{MB_{2}}{BB_{2}},\frac{MC_{1}}{SC}=\frac{MC_{2}}{CC_{2}}$

Mà $\frac{MA_{2}}{AA_{2}}+\frac{MB_{2}}{BB_{2}}+\frac{MC_{2}}{CC_{2}}=\frac{S_{BCM}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ACM}}{ABC}+\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=1$$\Rightarrow \frac{MA_{1}}{SA}+\frac{MB_{1}}{SB}+\frac{MC_{1}}{SC}=1 (+)$

Mặt khác ta thấy $MA_{1}\parallel SA,MB_{1}\parallel SB,MC_{1}\parallel SC\Rightarrow$ các góc đỉnh $M=$ các góc đỉnh $S$ của $S.ABC$

$\Rightarrow$ Trên $SA,SB,SC$ ta đặt được hình chóp $M.A_{1}B_{1}C_{1}$ lên các cạnh sao cho $SA_{1}=MA_{1}, SB_{1}=MB_{1},SC_{1}=MC_{1}$

$\Rightarrow$ $V_{M.A_{1}B_{1}C_{1}} =V_{S.A_{1}B_{1}C_{1}}$

$\Rightarrow \frac{V_{M.A_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{S.ABC}}=\frac{V_{S.A_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{S.ABC}}$$=\frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}(++)$

Từ $(+)$ $\Rightarrow$$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA}+\frac{SB_{1}}{SB}+\frac{SC_{1}}{SC}=1$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$1\geq 3\sqrt[3]{\frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}}\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}\leq \frac{1}{27}$

Từ $(++)$ $\Rightarrow V_{1}\leq \frac{1}{27}V\Rightarrow đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 23-08-2013 - 19:47