Problem 1
Cho Tứ diện OABC trong đó OA;OB;OC đôi một vuông góc với nhau . Gọi R,r,h,v tươg ứng là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp , dường cao hạ từ O và thể tích của tứ diện . CMR $\dfrac{v(h-r)}{R^{2}.r.h} \leq \dfrac{2}{3}$
Problem 2
các cặp cạnh chéo nhau của tứ diện ABCD là a,d;b,e;c,f Gọi S1 là diện tích lớn nhất của thiết diện song song với cặp cạnh a,d . S2;S3 Xác định tương tự với 2 cặp cạnh kia . hãy CMR : $S1+S2+S3 \leq \dfrac{1}{4}.(ad+be+cf)$
Problem 3
Cho tứ diện ABCD có các cạnh xuất phát từ A đôi một vuông góc với nhau . Gọi a là cạnh lớn nhất xuất phát từ A và r là bán kính hình cầu nội tiếp . CMR : $a \geq (3+\sqrt{3})r$
Problem 4
Cho tứ diện OABC trong đó OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau . Kẻ đuờng cao OH=h. Gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện . CMR :
$\dfrac{h}{r} \leq 1+\sqrt{3}$
Problem 5
Cho OABC là tứ diện , trong đó OA;OB;OC vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi R và r tương ứng là bán kính hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện . Chứng minh rằng :
$\dfrac{R}{r} \geq \dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}$
Problem 6
Cho tứ diện A1A2A3A4 . Gọi G;I;r là trọng tâm ; Tâm và bánh kính hình cầu nội tiếp tứ diện . Gọi hi;mi tương ứng là độ dài chiều cao và trọng tuyến xuất phát từ Ai CMR :
$ Max\limits_{i=1,2,3} >\dfrac{GI}{3r}$
Problem 7
Cho tứ diện ABCD . Chứng mỉnh rằng :
$(AC+BD)^{2}+(AD+BC)^{2}>(AB+CD)^{2}$
Problem 8
Cho tứ diện ABCD , trong đó AB và Ac vuông góc , Chân đường vuông góc hạ từ A xuống mp(BCD) . Chứng minh rằng :
$(BC+CD+DB)^{2} \leq 6(AB^{2}+AD^{2}+AC^{2})$
Problem 9
Cho tứ diện SABC có thể tích là V . M là một điểm tùy ý trong đáy ABC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA;SB;SC . các đường đó lần lượt cắt các mặt SBC ; SAC ; SAB tại A1;B1;C1 . gọi V1 là thể tích tứ diện M.A1B1C1 . Hãy CM :
$V1 \leq \dfrac{1}{27}V$
Problem 10
Một Tứ diện có cạnh đối độ dài là b và c , các cạnh còn lại có độ dài là a . M là một điểm tùy ý trong không gian . Gọi I là tổng khoảng cách từ M tới các đỉnh của tứ diện . CMR :
$I \geq \sqrt{4a^{2}+2bc}$
Problem 11
Cho ABCD là tứ diện gần đều có BC=DA=a ; CD=DB=b và AB=AD=c . Chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{a^{2}.b^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}.c^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}.a^{2}} \leq \dfrac{9}{S^{2}}$
Problem 12
Cho Tứ diện ABCD . Mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện cạnh CD;DA;AB và BC lần lượt cắt các cạnh AB ; BC; CD;DA tai M;N;P;Q Chứng minh rằng :
$ \dfrac{MA}{MB}+\dfrac{NB}{NC}+\dfrac{PD}{PC}+\dfrac{QD}{QA} \geq 4$
Problem 13
Chứng minh rằng tổng các góc nhìn từ một điểm O nằm trong tứ diện ABCD xuống các cạnh của tứ diện lớn hơn $3.\pi$
Problem 14
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Gọi Ga;Gb;Gc;Gd là trọng tâm các tam giác BCD ;ACD;ADB;ACB
Đặt AGa =ma ;BGb=mb; CGc=mc . DGd=md . Hãy Chứng minh :
$R \geq \dfrac{3}{16}.(ma+mb+mc+md)$
......... Còn Nữa ..............
PS: Các bạn nháy vào links của các bài toán để tới nơi thảo luận
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Harry Potter: 24-09-2007 - 17:51