Chủ đề này có 2 trả lời

[Harry Potter]

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành . Mặt Phẳng ($\alpha$) cắt $SA;SB;SC$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $O$ là giao của $AC$ và $BD$, $O_1$ là giao của $A_1C_1$ và $SO$.
a) Tìm giao điểm $D_1$ của mặt phẳng $\alpha$ và $SD$
b) CMR : $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=2\dfrac{SO}{SO_1}$
c) CMR : $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=\dfrac{SB}{SB_1}+\dfrac{SD}{SD_1}$

[dinhnospam2]

Bài làm

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnospam2: 23-03-2014 - 18:45

[chanhquocnghiem]

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành . Mặt Phẳng ($\alpha$) cắt $SA;SB;SC$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $O$ là giao của $AC$ và $BD$, $O_1$ là giao của $A_1C_1$ và $SO$.
a) Tìm giao điểm $D_1$ của mặt phẳng $\alpha$ và $SD$
b) CMR : $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=2\dfrac{SO}{SO_1}$
c) CMR : $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=\dfrac{SB}{SB_1}+\dfrac{SD}{SD_1}$

$a)$ 

Gọi $t$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$

Xét $3$ mặt phẳng $\alpha ;(SAB);(SCD)$ :

$\alpha \cap (SAB)=A_{1}B_{1}$ ; $\alpha \cap (SCD)=C_{1}D_{1}$ ; $(SAB) \cap (SCD)=t$

Theo định lý về giao tuyến của $3$ mặt phẳng thì $t;A_{1}B_{1};C_{1}D_{1}$ là $3$ đường thẳng đồng quy hoặc song song.

Vậy điểm $D_{1}$ được xác định như sau (có $2$ trường hợp) :

$1)$ Nếu $A_{1}B_{1}$ cắt $t$ tại $T$

        Khi đó $D_{1}=TC_{1}\cap SD$

$2)$ Nếu $A_{1}B_{1}//t$ (tức là $A_{1}B_{1}//AB//CD$)

        Khi đó $D_{1}$ là giao điểm của $SD$ với đường thẳng đi qua $C_{1}$ và song song với $AB$ và $CD$

 

$b)$

Kẻ $AM//A_{1}C_{1}$ và $CN//A_{1}C_{1}$ ($M,N\in SO$)

$\Delta MAO=\Delta NCO$ (g.c.g) $\Rightarrow OM=ON$

$\Rightarrow SM+SN=2SO$ (1)

Theo định lý Thales :

$\frac{SA}{SA_{1}}=\frac{SM}{SO_{1}}$ (2)

$\frac{SC}{SC_{1}}=\frac{SN}{SO_{1}}$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow \frac{SA}{SA_{1}}+\frac{SC}{SC_{1}}=\frac{SM+SN}{SO_{1}}=2\frac{SO}{SO_{1}}$ (4)

 

$c)$

Chứng minh tương tự phần $b)$ ta cũng có : 

$\frac{SB}{SB_{1}}+\frac{SD}{SD_{1}}=2\frac{SO}{SO_{1}}$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow \frac{SA}{SA_{1}}+\frac{SC}{SC_{1}}=\frac{SB}{SB_{1}}+\frac{SD}{SD_{1}}$