Cho dãy số thực $(x_k)$ thỏa mãn:
$$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}, \forall m, n \geq 1$$
Chứng minh rằng $(x_k)$ lập thành 1 cấp số cộng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-07-2014 - 15:28
Cho dãy số thực $(x_k)$ thỏa mãn:
$$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}, \forall m, n \geq 1$$
Chứng minh rằng $(x_k)$ lập thành 1 cấp số cộng
Cố định $k\in \mathbb{N}^*$. Xét dãy số $y_n= x_{n+1}-x_n$. Dãy này có giới hạn là $x_1$ vì
$$|y_n-x_1|<\frac{1}{n+1}.$$
Khi đó dãy số $y_n+...+y_{n+k-1}= x_{n+k}-x_n$ có giới hạn là $kx_1$ và cũng là $x_k$. Do đó $x_k=kx_1$.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh