Chủ đề này có 3 trả lời

[chicken_1991]

cho $n $ 1 là số nguyên dương cho trước. $a_1, a_2,... a_n$ là một dãy nguyên sao cho $n$ chia hết tổng$ a_1 + a_2 +...+ a_n$. Chứng minh tồn tại 2 hoán vị $t$ và $T $của $1,2,...,n$ sao cho $t(i) +T(i)$ $a_i$ (mod $n$)
với $ t(i)$ là phần tử thứ i trong bộ hoán vị t



from FOOL90: Anh sửa thế này chắc đúng ý em ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FOOL90: 05-10-2007 - 10:40

[namdung]

Bài này cũng chưa được giải. Gửi từ năm 2007!

[phong than]

Chắc thầy giải được rồi mới cất công moi lên.

[phong than]

Bài toán tương đương với việc chứng minh rằng tồn tại một hoán vị $T(i)$, sao cho tập
$(a_1+T_1, a_2+T_2, . . . , a_n+T_n)$ là một hoán vị của $1, 2, . . . , n$.
Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một hoán vị $T(i)$, sao cho tập
$(a_1+T_1, a_2+T_2, . . . , a_{n-1}+T_{n-1})$, không có 2 phần tử đồng dư nhau $mod n$ là đủ.
Thật vậy ta sẽ xét các hoán vị mà $(a_1+T_1, a_2+T_2, . . . , a_{n-1}+T_{n-1})$ có hai vị trí
đồng dư nhau $mod n$.
Dễ thấy số các hoán vị này không quá $n.C_{n-1}^2.(n-3)!=\dfrac{n!}{2}$.
Tổng số các hoán vị là $n!$.
Nên ta có đpcm.