Chủ đề này có 1 trả lời

[phandung]

Cho $P_1 P_2......P_7$ là bảy điểm trong không gian trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng.Tô màu mỗi đoạn $P_iP_j,(i<j)$ với một trong hai màu đỏ hoặc đen. Chứng minh rằng có hai tam giác đơn sắc không có chung cạnh .
Điều này có đúng không nếu có 6 điểm ?


bước tới nhà em bóng xế tà người thì chẳng thấy chó chui ra
lom khom nhặt đá cầm lên ném
chó thì chẳng trúng lại trúng bà già

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-09-2013 - 23:06

[LNH]

Cho $P_1 P_2......P_7$ là bảy điểm trong không gian trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng.Tô màu mỗi đoạn $P_iP_j,(i<j)$ với một trong hai màu đỏ hoặc đen. Chứng minh rằng có hai tam giác đơn sắc không có chung cạnh .
Điều này có đúng không nếu có 6 điểm ?

Theo định lí Ramsey, có ít nhất một tam giác đơn sắc. Giả sử tam giác ấy là $P_{1}P_{2}P_{3}$

Xét 5 điểm $P_{1},P_{4},P_{5},P_{6},P_{7}$:

Nếu tồn tại 1 tam giác đơn sắc thì suy ra đpcm

Giả sử không tồn tại tam giác đơn sắc:

Ta phát biểu mà không chứng minh bổ đề đơn giản sau:

Một đồ thị vô hướng gồm 5 đỉnh được tô bằng 2 màu, nếu không có tam giác nào đơn sắc thì luôn tồn tại hình gồm 5 cạnh với các cạnh được tô cùng màu, các đường chéo còn lại được tô cùng màu.

Không mất tính tổng quát, giả sử $P_{1}P_{4},P_{4}P_{5},P_{5}P_{6},P_{6}P_{7},P_{7}P_{1}$ được tô màu đỏ, các cạnh còn lại được tô màu xanh

Xét điểm $P_2$ và các đoạn $P_{2}P_{4},P_{2}P_{5},P_{2}P_{6},P_{2}P_{7}$:

Nếu có 3 cạnh cùng màu dễ dàng suy ra đpcm

Nếu 2 cạnh ở mỗi màu bằng việc xét các trường hợp đơn giản ta suy ra đpcm

Nếu có $6$ điểm thì bài toán sai và ta có thể dễ dàng xây dựng được