Cho $P_1 P_2......P_7$ là bảy điểm trong không gian trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng.Tô màu mỗi đoạn $P_iP_j,(i<j)$ với một trong hai màu đỏ hoặc đen. Chứng minh rằng có hai tam giác đơn sắc không có chung cạnh .
Điều này có đúng không nếu có 6 điểm ?
Theo định lí Ramsey, có ít nhất một tam giác đơn sắc. Giả sử tam giác ấy là $P_{1}P_{2}P_{3}$
Xét 5 điểm $P_{1},P_{4},P_{5},P_{6},P_{7}$:
Nếu tồn tại 1 tam giác đơn sắc thì suy ra đpcm
Giả sử không tồn tại tam giác đơn sắc:
Ta phát biểu mà không chứng minh bổ đề đơn giản sau:
Một đồ thị vô hướng gồm 5 đỉnh được tô bằng 2 màu, nếu không có tam giác nào đơn sắc thì luôn tồn tại hình gồm 5 cạnh với các cạnh được tô cùng màu, các đường chéo còn lại được tô cùng màu.
Không mất tính tổng quát, giả sử $P_{1}P_{4},P_{4}P_{5},P_{5}P_{6},P_{6}P_{7},P_{7}P_{1}$ được tô màu đỏ, các cạnh còn lại được tô màu xanh
Xét điểm $P_2$ và các đoạn $P_{2}P_{4},P_{2}P_{5},P_{2}P_{6},P_{2}P_{7}$:
Nếu có 3 cạnh cùng màu dễ dàng suy ra đpcm
Nếu 2 cạnh ở mỗi màu bằng việc xét các trường hợp đơn giản ta suy ra đpcm
Nếu có $6$ điểm thì bài toán sai và ta có thể dễ dàng xây dựng được