Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình chữ nhật. Gọi $\alpha, \beta$ lần lượt là các góc tạo bởi đường chéo $AC'$ với các cạnh $AB, AD$. Gọi $\phi$ là góc phẳng nhị diện $(B,AC,D)$. Chứng minh rằng:
$$\cos \phi = -\cot \alpha . \cot \beta$$
Đề bài cần sửa tên góc phẳng nhị diện là $(B,AC',D)$ chứ không phải $(B,AC,D)$
Giải :
Gọi $E$ và $F$ lần lượt là các điểm thuộc $C'B$ và $C'D$ sao cho các tam giác $C'AE$ và $C'AF$ vuông tại $A$.Khi đó, theo định nghĩa số đo của góc phẳng nhị diện, ta có góc $EAF$ bằng $\phi$.
Ta cũng có $AE=AC' \cot \alpha$ ; $AF=AC' \cot \beta$ ; $C'B=AC' \sin \alpha$ ; $C'D=AC' \sin \beta$
Gọi góc $BC'D$ (hay góc $EC'F$) là $\gamma$
Xét tam giác $C'BD$ : $BD^{2}=C'B^{2}+C'D^{2}-2C'B.C'D \cos \gamma$
$\Rightarrow$ $AB^{2}+AD^{2}=AC'^{2} \sin^{2} \alpha+AC'^{2} \sin^{2} \beta-2AC'^{2} \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$
$\Rightarrow$ $2AC'^{2} \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma=AC'^{2} \sin^{2} \alpha+AC'^{2} \sin^{2} \beta-AC'^{2} \cos^{2} \alpha-AC'^{2} \cos^{2} \beta$
Vì $\alpha$ và $\beta$ là các góc nhọn nên $\sin \alpha> 0;\cos \alpha> 0;\sin \beta> 0;\cos \beta> 0$
Suy ra $\frac{2 \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta}=\frac{1}{\sin^{2} \beta}+\frac{1}{\sin^{2} \alpha}-\frac{\cot^{2} \alpha}{\sin^{2} \beta}-\frac{\cot^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}$ (1)
Xét tam giác $C'EF$ : $EF^{2}=C'E^{2}+C'F^{2}-2C'E.C'F \cos \gamma=\frac{AC'^{2}}{\sin^{2} \alpha}+\frac{AC'^{2}}{\sin^{2} \beta}-\frac{2AC'^{2} \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta}$
$\Rightarrow$ $\frac{EF^{2}}{AC'^{2}}=\frac{1}{\sin^{2} \alpha}+\frac{1}{\sin^{2} \beta}-\frac{2 \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta}$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow$ $\frac{EF^{2}}{AC'^{2}}=\frac{\cot^{2} \alpha}{\sin^{2} \beta}+\frac{\cot^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}$ (3)
Xét tam giác $AEF$ : $EF^{2}=AE^{2}+AF^{2}-2AE.AF \cos \phi$
$\Rightarrow$ $EF^{2}=AC'^{2} \cot^{2} \alpha+AC'^{2} \cot^{2} \beta-2AC'^{2} \cot \alpha \cot \beta \cos \phi$
$\Rightarrow$ $\frac{EF^{2}}{AC'^{2}}=\cot^{2} \alpha+cot^{2} \beta-2 \cot \alpha \cot \beta \cos \phi$ (4)
(3),(4) $\Rightarrow$ $\frac{\cot^{2} \alpha}{\sin^{2} \beta}+\frac{\cot^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}=\cot^{2} \alpha+cot^{2} \beta-2 \cot \alpha \cot \beta \cos \phi$
$\Rightarrow$ $\cos^{2} \alpha+\cos^{2} \beta=\cos^{2} \alpha \sin^{2} \beta+\cos^{2} \beta \sin^{2} \alpha-2 \cos \alpha \sin \alpha \cos \beta \sin \beta \cos \phi$
$\Rightarrow$ $2 \cos \alpha \sin \alpha \cos \beta \sin \beta \cos \phi=\cos^{2} \alpha(\sin^{2} \beta-1)+\cos^{2} \beta(\sin^{2} \alpha-1)$
$\Rightarrow$ $2 \cos \alpha \sin \alpha \cos \beta \sin \beta \cos \phi=-2 \cos^{2} \alpha \cos^{2} \beta$
$\Rightarrow$ $\cos \phi=-\cot \alpha . \cot \beta$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-02-2014 - 16:25