Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\cos \phi = -\cot \alpha . \cot \beta$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tvxq123

tvxq123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Sở thích:làm toán, ăn ngủ nghỉ

Đã gửi 18-10-2007 - 20:32

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình chữ nhật. Gọi $\alpha, \beta$ lần lượt là các góc tạo bởi đường chéo $AC'$ với các cạnh $AB, AD$. Gọi $\phi$ là góc phẳng nhị diện $(B,AC,D)$. Chứng minh rằng:

$$\cos \phi = -\cot  \alpha . \cot \beta$$


Ti Amo..& chỉ cần có thế

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-02-2014 - 21:52

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng    @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 11/02 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 11-02-2014 - 16:00

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình chữ nhật. Gọi $\alpha, \beta$ lần lượt là các góc tạo bởi đường chéo $AC'$ với các cạnh $AB, AD$. Gọi $\phi$ là góc phẳng nhị diện $(B,AC,D)$. Chứng minh rằng:

$$\cos \phi = -\cot  \alpha . \cot \beta$$

Đề bài cần sửa tên góc phẳng nhị diện là $(B,AC',D)$ chứ không phải $(B,AC,D)$

Giải :

Gọi $E$ và $F$ lần lượt là các điểm thuộc $C'B$ và $C'D$ sao cho các tam giác $C'AE$ và $C'AF$ vuông tại $A$.Khi đó, theo định nghĩa số đo của góc phẳng nhị diện, ta có góc $EAF$ bằng $\phi$.

Ta cũng có $AE=AC' \cot \alpha$ ; $AF=AC' \cot \beta$ ; $C'B=AC' \sin \alpha$ ; $C'D=AC' \sin \beta$

Gọi góc $BC'D$ (hay góc $EC'F$) là $\gamma$

Xét tam giác $C'BD$ : $BD^{2}=C'B^{2}+C'D^{2}-2C'B.C'D \cos \gamma$

$\Rightarrow$ $AB^{2}+AD^{2}=AC'^{2} \sin^{2} \alpha+AC'^{2} \sin^{2} \beta-2AC'^{2} \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$

$\Rightarrow$ $2AC'^{2} \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma=AC'^{2} \sin^{2} \alpha+AC'^{2} \sin^{2} \beta-AC'^{2} \cos^{2} \alpha-AC'^{2} \cos^{2} \beta$

Vì $\alpha$ và $\beta$ là các góc nhọn nên $\sin \alpha> 0;\cos \alpha> 0;\sin \beta> 0;\cos \beta> 0$

Suy ra $\frac{2 \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta}=\frac{1}{\sin^{2} \beta}+\frac{1}{\sin^{2} \alpha}-\frac{\cot^{2} \alpha}{\sin^{2} \beta}-\frac{\cot^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}$ (1)

Xét tam giác $C'EF$ : $EF^{2}=C'E^{2}+C'F^{2}-2C'E.C'F \cos \gamma=\frac{AC'^{2}}{\sin^{2} \alpha}+\frac{AC'^{2}}{\sin^{2} \beta}-\frac{2AC'^{2} \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta}$

$\Rightarrow$ $\frac{EF^{2}}{AC'^{2}}=\frac{1}{\sin^{2} \alpha}+\frac{1}{\sin^{2} \beta}-\frac{2 \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta}$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow$ $\frac{EF^{2}}{AC'^{2}}=\frac{\cot^{2} \alpha}{\sin^{2} \beta}+\frac{\cot^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}$ (3)

Xét tam giác $AEF$ : $EF^{2}=AE^{2}+AF^{2}-2AE.AF \cos \phi$

$\Rightarrow$ $EF^{2}=AC'^{2} \cot^{2} \alpha+AC'^{2} \cot^{2} \beta-2AC'^{2} \cot \alpha \cot \beta \cos \phi$

$\Rightarrow$ $\frac{EF^{2}}{AC'^{2}}=\cot^{2} \alpha+cot^{2} \beta-2 \cot \alpha \cot \beta \cos \phi$ (4)

(3),(4) $\Rightarrow$ $\frac{\cot^{2} \alpha}{\sin^{2} \beta}+\frac{\cot^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}=\cot^{2} \alpha+cot^{2} \beta-2 \cot \alpha \cot \beta \cos \phi$

$\Rightarrow$ $\cos^{2} \alpha+\cos^{2} \beta=\cos^{2} \alpha \sin^{2} \beta+\cos^{2} \beta \sin^{2} \alpha-2 \cos \alpha \sin \alpha \cos \beta \sin \beta \cos \phi$

$\Rightarrow$ $2 \cos \alpha \sin \alpha \cos \beta \sin \beta \cos \phi=\cos^{2} \alpha(\sin^{2} \beta-1)+\cos^{2} \beta(\sin^{2} \alpha-1)$

$\Rightarrow$ $2 \cos \alpha \sin \alpha \cos \beta \sin \beta \cos \phi=-2 \cos^{2} \alpha \cos^{2} \beta$

$\Rightarrow$ $\cos \phi=-\cot \alpha . \cot \beta$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-02-2014 - 16:25

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh