Chủ đề này có 8 trả lời

[dduclam]

Cho $a,b,c \geq 0 : abc=1$. CMR:
$ \dfrac{1}{ \sqrt{1+a}}+ \dfrac{1} {\sqrt{1+b}} + \dfrac{1}{ \sqrt{1+c}} \leq \dfrac{3 \sqrt{2} }{2} $

[chien than]

Bất đẳng thức này tương đương:
$\sum \sqrt{\dfrac{2}{1+a}} \leq 3$
*Nếu $ab+bc+ca \geq a+b+c$ thì
$\sum \sqrt{\dfrac{2}{1+a}} \leq \sqrt{3.\sum \dfrac{2}{1+a}}$
Ta sẽ CM $\sqrt{3.\sum \dfrac{2}{1+a}} \leq 3$<=>$x+y+z \leq xy+yz+xz$
*Nếu $ab+bc+ca<a+b+c$
Ta cm nếu $a;b \leq 1$ thì $\sqrt{\dfrac{2}{1+a}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+b}}+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}} \leq 3$
BCS được:
$\sqrt{\dfrac{2}{1+a}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+b}}+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}} \leq 2\sqrt{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}}+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}}$
Ta chỉ cần CM
$2.\dfrac{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}-1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}}} \leq \dfrac{1-\dfrac{2ab}{ab+1}}{1+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}}}$
Chú ý rằng
$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}-1=\dfrac{1-ab}{(a+1)(b+1)}$
$\leq \dfrac{1-xy}{(xy+1)(1+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}})}$
Ok!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chien than: 23-10-2007 - 17:19

[chien than]

Một bài khác gần gần tương tự:
Cho $a;b;c>0$
CMR:

$\sqrt {\dfrac {a}{4a + 5b}} + \sqrt {\dfrac {b}{4b + 5c}} + \sqrt {\dfrac {c}{4c + 5a}}\leq 1$

[dduclam]

Phải sửa thế này:

Bất đẳng thức này tương đương:
$\sum \sqrt{\dfrac{2}{1+a}} \leq 3$
*Nếu $ab+bc+ca \geq a+b+c$ thì
$\sum \sqrt{\dfrac{2}{1+a}} \leq \sqrt{3.\sum \dfrac{2}{1+a}}$
Ta sẽ CM $\sqrt{3.\sum \dfrac{2}{1+a}} \leq 3$<=>$a+b+c \leq ab+bc+ca$
*Nếu $ab+bc+ca<a+b+c$
Ta cm nếu $a;b \leq 1$ thì $\sqrt{\dfrac{2}{1+a}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+b}}+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}} \leq 3$
BCS được:
$\sqrt{\dfrac{2}{1+a}}+\sqrt{\dfrac{2}{1+b}}+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}} \leq 2\sqrt{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}}+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}}$
Ta chỉ cần CM
$2.\dfrac{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}-1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}}} \leq \dfrac{1-\dfrac{2ab}{ab+1}}{1+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}}}$
Chú ý rằng
$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}-1=\dfrac{1-ab}{(a+1)(b+1)}$
$\leq \dfrac{1-ab}{(ab+1)(1+\sqrt{\dfrac{2ab}{ab+1}})}$
Ok!

Ý tưởng khá hay,dù còn dài,hơn nữa các TH còn lại (ngoài TH $a;b \leq 1$) thì sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dương Đức Lâm: 17-01-2008 - 09:14

[mathangel]

Bài này nếu là dân cấp 3 thì sẽ khảo sát tính lồi lõm của hàm số $ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+e^{x}}} $

[zaizai]

sử dụng only concave or convex function chắc là sẽ fail thôi Bài này thực chất chỉ là khảo sát hàm 1 biến với hệ số. Cả bài 2 của Vasc của thế

[dduclam]

Đây là BT của THCS cơ mà . Và topic ghi rõ :Đi tìm lời giải đẹp!

[chien than]

Bất đẳng thức này xuất phát từ BDT
Cho $x;y;z>0$.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac {x}{x + y}} + \sqrt{\dfrac {y}{y + z}} + \sqrt{\dfrac {z}{z + x}}\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Có 1 lời giải rất đẹp của nayel bên ML như sau:
$VT = \dfrac {\sqrt {x(y + z)(z + x)} + \sqrt{y(z + x)(x + y)} + \sqrt {z(x + y)(y + z)}}{\sqrt{(x + y)(y + z)(z + x)}}$
$\le \sqrt {\dfrac {(x(y + z) + y(z + x) + z(x + y))(x + y + y + z + z + x))}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$

$= \sqrt {4\cdot\dfrac {(xy + yz + zx)(x + y + z)}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$

$= 2.\sqrt {\dfrac {(x + y)(y + z)(z + x) + xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$
$= 2.\sqrt {1 + \dfrac {xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$

$\le 2.\sqrt {1 + \dfrac {1}{8}}$

$= \dfrac {3\sqrt 2}{2}$

[dduclam]

Bất đẳng thức này xuất phát từ BDT
Cho $x;y;z>0$.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac {x}{x + y}} + \sqrt{\dfrac {y}{y + z}} + \sqrt{\dfrac {z}{z + x}}\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Có 1 lời giải rất đẹp của nayel bên ML như sau:
$VT = \dfrac {\sqrt {x(y + z)(z + x)} + \sqrt{y(z + x)(x + y)} + \sqrt {z(x + y)(y + z)}}{\sqrt{(x + y)(y + z)(z + x)}}$
$\le \sqrt {\dfrac {(x(y + z) + y(z + x) + z(x + y))(x + y + y + z + z + x))}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$

$= \sqrt {4\cdot\dfrac {(xy + yz + zx)(x + y + z)}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$

$= 2.\sqrt {\dfrac {(x + y)(y + z)(z + x) + xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$
$= 2.\sqrt {1 + \dfrac {xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$

$\le 2.\sqrt {1 + \dfrac {1}{8}}$

$= \dfrac {3\sqrt 2}{2}$

Mình cũng có đọc qua LG này bên ML rồi,đúng là LG đẹp! Nó đẹp vì nó ngắn gọn, dễ hiểu và ko sử dụng nhiều đến các công cụ bổ trợ
Thực ra mình cũng có 2LG cho BT này nhưng hơi dài và ko đc đẹp cho lắm