Chủ đề này có 6 trả lời

[simon_1412]

Trong các số

$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$

có bao nhiêu số chẵn?

 

Hãy tổng quát hóa bài toán

[nguyenta98]

Trong các số

$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$

có bao nhiêu số chẵn?

 

Hãy tổng quát hóa bài toán

Giải như sau:

Quy ước kí hiệu $C_n^m=\binom{n}{m}$

Theo định lý Lucas ta có

$\binom{n}{m} \equiv \prod\binom{n_i}{m_i} \pmod{2}$

Với $n=n_k.2^k+n_{k-1}.2^{k-1}+...+n_1.2+n_0$ và $m=m_k.2^k+m_{k-1}.2^{k-1}+...+m_1.2+m_0$ 

Khi đó $\binom{n}{m} \vdots 2$ khi và chỉ khi tồn tại $\binom{n_i}{m_i} \vdots 2$ mà $\binom{n_i}{m_i} \in (\binom{1}{0},\binom{0}{1},\binom{1}{1},\binom{0}{0})$

Do đó $\binom{n_i}{m_i} \vdots 2$ khi và chỉ khi $n_i=0,m_i=1$ khi đó $\binom{0}{1}$ quy ước là $0$ và từ đó có hệ quả $\binom{n}{m}$ lẻ khi và chỉ khi với mọi $i=(1,2,...,k)$ thì $n_i\geq m_i$ $(1)$

Áp dụng vào bài toán $2007=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^2+2+1$

Theo hệ quả $(1)$ ta sẽ tính số số lẻ trong dãy $\binom{2007}{i}$

Khi đó đặt $i=a_{10}.2^{10}+a_9.2^9+a_8.2^8+...+a_1.2+a_0$ khi đó theo hệ quả $(1)$ $\binom{2007}{i}$ lẻ khi và chỉ khi $a_{10},a_{9},...,a_7,a_6,a_4,a_2,a_1,a_0\le 1$ và $a_5,a_3=0$

Do đó các số $a_{10},a_{9},...,a_7,a_6,a_4,a_2,a_1,a_0$ chỉ nhận một trong hai giá trị là $0,1$ nên số cách chọn là $2^9$

Do đó có $2^9$ số lẻ trong dãy trên như vậy có $2007+1-2^9=1496$ số chẵn

$$**********$$
Nhìn vào lời giải trên chắc chúng ta cũng tổng quát được

Tổng quát, cho dãy $\binom{n}{0},\binom{n}{1},...,\binom{n}{n}$ $(2)$
Và biểu diễn theo cơ số $2$ của $n$ là $a_k.2^k+a_{k-1}.2^{k-1}+...+a_1.2+a_0$ và trong các số $a_i$ có $p$ số là $1$

Khi đó số số lẻ trong $(2)$ là $2^p$ số, số số chẵn là $n+1-2^p$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-06-2013 - 10:58

[ilovelife]

Trong các số

$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$

có bao nhiêu số chẵn?

 

Hãy tổng quát hóa bài toán

Em tổng quát hóa + giải tổng quát luôn (thực ra bài này rất dễ):
Trong các số $C_{n}^0, C_{n}^1, C_{n}^2,\ldots,C_{n}^{n}$ (với $n \in \mathbb Z^+$)

Trong tam giác Pascal thì mỗi $C_{n}^0, C_{n}^1, C_{n}^2,\ldots,C_{n}^{ n}$ là các số ở hàng thứ $n$

Mà hàng thứ $n$ thì luôn có $n+1$ số.

Do đó ta chỉ cần đếm số số chẵn trong mỗi hàng bằng cách đếm số số lẻ. Ta có cách làm sau:

 

Để đếm số số hạng lẻ trong cột $n$, chuyển $n$ qua hệ nhị phân. Goi $x$ là số chữ số một của $n_{(2)}$. Số số hạng lẻ sẽ là $2^x.$
 

 

Parity: To count odd terms in row $n$, convert n to binary. Let $x$ be the number of $1$s in the binary representation. Then number of odd terms will be $2^x$

-Wikipedia-

 

Chứng minh: Xem ở file đính kèm   Odd Coefficients.pdf   56.15K   2135 Số lần tải (cái này em Google Search)

 

 

Áp dụng vào bài toán 

Có $2007 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1$

Nên có dạng nhị phân là $11111010111.$ ($9$ số $1$)

 

Vậy số số chẵn trong dãy mà đầu bài cho sẽ là: $\boxed{2007 +1 -  2^{9} = 1496}$
 
Nguyên nhanh tay quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 15-06-2013 - 11:15

[nguyenta98]

 

Vậy số số chẵn trong dãy mà đầu bài cho sẽ là: $\boxed{2007  -  2^{9} = 1495}$

Bạn quên mất còn số $0$ là, phải là $2007+1-2^9=1496$

[dark templar]

1 bài toán cũng gần giống với bài trên:

 

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho các số $\binom{n}{0};\binom{n}{1};...;\binom{n}{n}$ đều là số lẻ.

 

Bài này được trích ra từ topic Số học-Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro-Bài toán 25.

[barcavodich]

Nguyên nhanh quá 

Mình đang định làm

[PSW]

CHấm bài:

nguyenta98: 10 điểm

ilovelife: 5 điểm