Chủ đề này có 1 trả lời

[dduclam]

Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. CMR:
$(a-bc)(b-ca)(c-ab) \leq 8a^2b^2c^2$

[mathangel]

Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. CMR:
$(a-bc)(b-ca)(c-ab) \leq 8a^2b^2c^2$

Bài này mình làm như sau:

1) Trong 3 số $ (a-bc), (b-ca), (c-ab) $ nếu có số âm thì chỉ có thể có duy nhất 1 số.
Rõ ràng nếu $ a = max{a,b,c} $ thì $ a-bc > 0 $ không thể có trường hợp cả 3 số cùng âm. Nếu có 2 số âm, chẳng hạn $ b -ca< 0 $ và $ c - ab < 0 $ thì $ b+c-ca-ab<0 $ suy ra $ (b+c)(1-a) < 0 $ hay $ (b+c)^2 < 0 $ vô lý.
Nếu có 1 số âm thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng (Vế trái < 0, Vế phải > 0)

2) Nếu $ a-bc > 0, b-ca>0 , c-ab>0 $ thì ta chứng minh bất đẳng thức sau:

$ (a-bc)(b-ca) \leq 4a^2 b^2 $ (1)

$ (c-ab)(a-b)^2 \leq 0 $ (bạn tự biến đổi tương đương nha)

Đúng vì $ c-ab>0 $

Nhân tương ứng 3 bất đẳng thức tương tự (1) rối khai căn (do cả 2 vế dùng dương) thì ta được bất đẳng thức cần chứng minh.