Chủ đề này có 21 trả lời

[Kakalotta]

Hôm qua bạn gái hỏi cái bài nay:
Hãy tìm tất cả các normal subgroup of D_n, trong đó D_n là dihedral group. Ngồi nghĩ thấy cũng hay hay, có nhiều ý tưởng. Mọi người thử nghĩ xem.

[Alexi Laiho]

Chưa nghĩ ra, nhưng cũng đang gặp mấy cái dihedral này. In my case thì thường nhóm dihedral được realized như finite subgroups of SL_2 cùng với đại số các bất biến của nó. Relevant examples trong trường hợp của mình thường là D_5 và D_8. Chẳng hạn you take (2:1)-Galois covering của 1 non-hyperelliptic curve of genus 3, vậy thì Z_2xD_8 có thể xuất hiện như là automorphism group của cái covering này (tất nhiên còn tùy thuộc vào việc classification của các curves này thì tương ứng sẽ có ngần ấy nhóm các tự đẳng cấu).

[eigen']

Nghĩ mãi mà không xong . I only found a few nontrivial normal subgroups: generated by a ( order n) and a^(n/d) for d being divisors of n. Also, in the case where any nontrivial proper normal subgroup containing a product of a to some power with b, I had to split into 2 cases: n odd or even, and found different results: n odd there is no more and n even there are two more corresponding to the evenness or oddness of the power of a. I am not sure if I have covered everything; so có bạn nào cho mình ý kiến không?

(Phải nói thêm là mình không dùng tiếng việt được vì không biết một số thuật ngữ toán học)

[madness]

Nghĩ mãi mà không xong . I only found a few nontrivial normal subgroups: generated by a ( order n) and a^(n/d) for d being divisors of n. Also, in the case where any nontrivial proper normal subgroup containing a product of a to some power with b, I had to split into 2 cases: n odd or even, and found different results: n odd there is no more and n even there are two more corresponding to the evenness or oddness of the power of a. I am not sure if I have covered everything; so có bạn nào cho mình ý kiến không?

(Phải nói thêm là mình không dùng tiếng việt được vì không biết một số thuật ngữ toán học)

i haven't given it a thought, but the most convenient viewpoint is probably to see a diheral group D_2n as a semidirect product of Z/2 and of Z/n. It might not be difficult to derive all normal subgroups of D_2n from this viewpoint.

[Kakalotta]

So, I think that I should make it a bit more difficult.
1-the quotient of G to a normal subgroup is also a group, so the class of normal subgroup can be view as kernel of all the map of G to another group.
So, classify all the map of G to the matrix group, modulo isomorphism.
Sẽ có tiếp câu hỏi hay hơn, hehe.

[eigen']

i haven't given it a thought, but the most convenient viewpoint is probably to see a diheral group D_2n as a semidirect product of Z/2 and of Z/n. It might not be difficult to derive all normal subgroups of D_2n from this viewpoint.

True, it is a lot easier that way. I've heard that this can also be done in the infinite case?

[Kakalotta]

Phía trên là lý thuyết biểu diễn. Cụ thể hơn, Z_2 có thể coi là real part of the circle S^1, và khi n tiến tới vô hạn thì nhóm Z_n tiến dần đến đường tròn S^1.
Bài toán tương tự trong lý thuyết nhóm: phân loại tất cả các nhóm con normal của semidirect product of S1 and G, trong đó G là locally compact abelian group, có thể là Torus hoặc R^n . Phân loại lý thuyết biểu diễn của G^ and how it relates to representation theory of G^?
1-->S1--->G^--->G--->1.
(còn tiếp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 04-11-2007 - 13:45

[kakalot]

Hôm qua bạn gái hỏi cái bài nay:
Hãy tìm tất cả các normal subgroup of D_n, trong đó D_n là dihedral group. Ngồi nghĩ thấy cũng hay hay, có nhiều ý tưởng. Mọi người thử nghĩ xem.

Tôi không biết anh KK hỏi thật hay có ý gì khác.
Nó cơ bản đến mức bất cứ ai làm về representation theory đều phải biết trả lời cho câu hỏi này.
Có một tài liệu tham khỏa tốt có mô tả các nhóm con chuẩn tắc của một số nhóm of Lie Back ( I'm not sure) characteristic and representation theory.

To madness : mọi việc không đơn giản nếu dùng semidirect (ngay cả direct product) vì có một phản ví dụ nói rằng không phải mọi nhóm con của HxK đều có dạng H_1xK_1 trong đó H_1 is a subgroup of H and the same as K_1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kakalot: 05-11-2007 - 01:38

[Kakalotta]

Nếu ai chê bài cơ bản quá thì tiếp tục. Đây là vật lý toán
Cho G là một nhóm Lie:, và LG là nhóm tất cả các ánh xạ từ S^1 vào G, và kí hiệu LG^ là mở rộng của LG bởi LG. Người ta gọi đây là string group, và nó đóng vai trò rất quan trọng trong stringy manifold và lý thuyết dây.
Hãy phân loại tất cả các biểu diễn Unitary bất khả quy của LG^.

1--->S^1---->LG^---->LG--->1

Trong trường hợp G là S^1, LG^ được gọi là nhóm Virasoro. Sự nghiên cứu các biểu diễn bất khả quy của LG^ tương ứng với sự nghiên cứu conformal Field Theory vì nó là một symmetry của lý thuyết. hehe.

Hehe, gọi đó là bài tập cơ bản, "bất cứ ai cũng phải biết."

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 05-11-2007 - 02:05

[Kakalotta]

Từ nãy đến giờ nhiều đại số quá, bây giờ thì geometry:
Cho G là nhóm Lie nửa đơn. Theo Kostant-Kirillov correspondence, có một tuơng ứng một-một giữa một bên là lý thuyết biểu diễn của G và các "special" coadjoint orbit của G trong g*, hay nói cách khác là các symplectic leaves.

Vấn đề: cho g* là một đa tạp Poisson tuyến tính, và g^* là đa tạp POisson tuyến tính nhận được từ G bằng mở rộng nhóm bởi S^1.
Hãy mô tả liên hệ giữa các đa tạp symplectic giữa g* và g^*.

[Kakalotta]

Từ nãy đến giờ nói đại số, hình học, vật lý toán rồi. Bây giờ quay sang giải tích hàm và dynamical system:

Cho A là một C*-algebra, và G là một nhóm compact địa phương tác động lên A. Nhóm con chuẩn tắc có thể hiểu là một cái analog của Ideal.

Cái này có vẻ hơi khó, thế thì cho cái dễ hơn, bổ sung thêm điều kiện: giả sử A là C*-đại số giao hoán và G tác động sao cho orbit của G là open trong its closure trong spectral của G.

Bài tâp: Hãy mô tả sự liên hệ giữa lý thuyết phổ (spectral theory) của cross product của A bởi G, và spcectral theory của A. Rieffel Induction functor.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 05-11-2007 - 02:15

[Kakalotta]

Nói tổng quát thì chán rồi, bây giờ nói trường hợp cụ thể.

Cái này là quantum geometry.

Cho S^1, và Z tác động lên S^1 bằng rotation một irrational angle. crossed product của tác động này, hay còn gọi là semidirect product như trong classical mathematics, được gọi là irrational rotation algebras A_t và còn gọi là quantum torus, xuyến lượng tử.
"Bài toán nhỏ": Phân loại lý thuyết biểu diễn của A_t.
Bài toán nhỏ này có vẻ hơi khó, thôi thì cho bài khác dễ hơn:
PHân loại các đại số A_t modulo tương đương lý thuýêt biểu diễn, nói cách khác upto Morita equivalance.

Gợi ý: Tìm ảnh của K-lý thuyết thông qua canonial trace. Một ý tưởng khác là dùng đặc trưng Chern-Connes không giao hoán. Cách thứ 3 là các chiêu thức trong Baum-COnnes conjecture cũng có thể dùng được, nhưng cái này thì chưa thử. Tuy nhiên tất cả đều là analog của cái bài toán về nhóm dihedral.
Hehe, thỉnh thoảng giải bài tập hộ GF, làm classical mathematics cũng thấy vài cái hay ghê.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 05-11-2007 - 02:27

[Kakalotta]

Các chuyên gia đâu cả rồi? Cái này có nhiều aspect đấy.

[Alexi Laiho]

Tôi không biết anh KK hỏi thật hay có ý gì khác.
Nó cơ bản đến mức bất cứ ai làm về representation theory đều phải biết trả lời cho câu hỏi này.
Có một tài liệu tham khỏa tốt có mô tả các nhóm con chuẩn tắc của một số nhóm of Lie Back ( I'm not sure) characteristic and representation theory.

To madness : mọi việc không đơn giản nếu dùng semidirect (ngay cả direct product) vì có một phản ví dụ nói rằng không phải mọi nhóm con của HxK đều có dạng H_1xK_1 trong đó H_1 is a subgroup of H and the same as K_1.

Chả hiểu cậu này ăn nói linh tinh cái gì? Normal subgroup của Dihedral group là phần đại số đại cương và hình học rời rạc từ thời Klein. Tìm các normal subgroups của dihedral này không khó, chỉ có dài dòng, và nói chung chẳng ai thèm quan tâm cho lắm, không biết nó cũng chẳng ảnh hưởng gì đến việc làm research.
------------------------

Các nhóm con của $D_n$ hiển nhiên bao gồm trivial subgroup $H_1 = \{ e \}$ và chính bản thân $D_n$. Ngoài ra mỗi nhóm dihedral có n nhóm con $H_{2j}$ bao gồm các phần tử $d^j \circ s$, với s là phép phản xạ gương qua 1 trục, và $d^j$ là j-lần quay của đỉnh thứ n theo 1 góc $2 \pi / n$

Hiển nhiên ta còn có $H_n = \mathbb{Z}_n$ cũng là 1 nhóm con nữa, tất nhiên nhóm này luôn là normal subgroup bên cạnh 2 nhóm khác tầm thường là {e} và bản thân D_n. Nếu giả sử n không phải là số nguyên tố, gọi m là 1 ước số của nó. Trước hết ta hãy tìm nhóm con có cấp m và 2m của D_n.

Hiển nhiên 1 điều nhóm sinh bởi $<d^{n/m}>$, (n/m)-lần phép quay, là 1 nhóm con cyclic và tuần hoàn, do đó nó phải là normal subgroup (nhóm con chuẩn tắc). Điều kiện để trở thành nhóm con chuẩn tắc cho các nhóm con có cấp m được cho bởi $d^x \circ s^y \circ d^{ru} \circ (d^x \circ s)^{-1} \in H_m$ với $u = n / m, r \in \mathbb{N}$.

Giờ có thể phân chia trường hợp bao gồm y = 0 và y=1. Thay vào điều kiện trên ta có tương ứng cho 2 trường hợp lần lượt là $d^{ru} \in H_m$ và $d^{-ru} \in H_m$. Do đó ta nhận được tiếp 1 nhóm con chuẩn tắc (normal subgroup) nữa là $H_u = <d^m>$.

Tiếp đến, để nhóm con H_{2m} là normal thì ru + 2x = au và 2x - ru = bu, với a,b là các số nguyên và mọi x là số tự nhiên. Hiển nhiên nếu u = 1, thì không bàn gì nữa. Chỉ có trường hợp u=2, ta thấy nhóm con này vừa là nhóm chuẩn tắc mà vẫn là nhóm dihedral, đó chính là $D_{n/2}$. Bây giờ ta đặt câu hỏi liệu các nhóm con tìm được ở trên đã vét cạn toàn bộ hệ thống các nhóm con của nhóm Dihedral chưa?

Trước hết nhận thấy rằng: 1 nhóm con, bao gồm cả phép quay lẫn phép phản xạ gương, vậy thì số các phép quay phải bằng số các phép phản xạ (chứng minh xem sách Algebra text book nào đó). Đặc biệt là: nếu 1 nhóm con chứa phép phản xạ gương, vậy thì tổng số các phép quay và phản xạ gương cũng phải bằng nhau.

1 nhóm con của $D_n$, nếu chứa phép quay $d^m$ vậy cũng phải chứa lũy thừa (Potent) của $d^m$. Xét nhóm $<d^m>$. Xét phương trình $(d^m)^k \circ d^r = d^n$. Vậy thì $mk+r \equiv 0 (mod \quad n)$, bởi vì $d^p = d^q$ nếu $p \equiv q (mod \quad n)$. Với k thay đổi, để nhận được cùng 1 giá trị dư r chúng ta cần phải có $mk+r \equiv mk' +r (mod \quad n)$. Do đó $mk \equiv mk'( mod \quad n)$. Nếu m và n không có ước chung (coprime) (m,n) = 1 vậy thì $k \equiv k' (mod \quad n)$ chỉ xẩy ra nếu k chạy từ 1 tới n. Trong trường hợp này ta có $<d^m> = <d>$.

Gọi ước số chung lớn nhất của m và n là gcd(m,n). Lũy thừa của $d^m$ cũng phải là lũy thừa của $d^{gcd(m,n)}$, do đó ta có $<d^m> \subset <d^{gcd(m,n)}>$. Vậy chúng ta có nhiều nhất n/gcd(m,n) các phần tử khác nhau vậy nên $gcd(m,n). (m/gcd(m,n)).k \equiv gcd(m,n).(m/gcd(m,n)).k' (mod \quad n)$. Ta có do đó k,k' modulo n các giá trị từ 1 tới n/gcd(n,m) và chính xác n/gcd(n,m) các giá trị dư khác nhau. Với n/gcd(m,n) các giá trị dư khác nhau chúng ta có tương ứng n/gcd(m,n) các phần tử khác nhau trong nhóm $<d^m>$. Ở trên ta đã chỉ ra 1 inclusion, do đó $<d^m> = <d^{gcd(m,n)}>$.

Bây giờ xét 1 nhóm con $H$ chứa 2 phép quay $d^l$ và $d^k$, hiển nhiên nhóm này phải chứa lũy thừa của 2 phép quay đó, và do đó $<d^l> \subset H$ cũng như $<d^k> \subset H$. Tạm ký hiệu a = gcd(k,n) và b = gcd(l,n) lần lượt là các ước số chung lớn nhất. Vậy thì nhóm con sinh bởi d^a và d^b cũng phải nằm trong H.

Do $d^a \in H, d^b \in H$, so we must have $d^{\alpha a + \beta b} \in H, \alpha, \beta \in \mathbb{Z}$. Từ thuật toán Euler we know với 2 số nguyên a,b cho trước, có thể tìm được $\alpha, \beta $ sao cho $\alpha a + \beta b = g$ với g = gcd(a,b), hence $<d^g> = H$. Giờ chúng ta biết rằng $<d^g> = <d^p>$ với p = gcd(n,p).

Bằng quy nạp (succesively) quá trình như trên chúng ta sẽ nhận được cuối cùng 1 nhóm con cyclic $<d^x>$ với x là ước số chung lớn nhất của các lũy thừa và n. Như ở trên đã nói, 1 nhóm con của D_n, nếu chứa 1 phép phản xạ gương, thì tổng số phép quay phải bằng tổng số phép phản xạ. Consider now tất cả các phép quay trong 1 nhóm con, hiển nhiên hợp của 2 phép quay làm thành 1 phép quay, do tính chất của nhóm con, phép quay này vẫn thuộc vào nhóm con đó, ngoài ra chúng ta yêu cầu với mỗi phép quay, phải có 1 phép quay nghịch đảo (inverse), và do không có phép phản xạ gương nào biểu diễn nghịch đảo của 1 phép quay, mà nó chỉ biểu diễn nghịch đảo với chính bản thân nó, nên tập hợp các phép quay lại phải làm thành 1 nhóm con của D_n, 1 nhóm như vậy, như chứng minh ở trên, phải có dạng $<d^a>$, với a là ước của n, và nhóm này chứa n/a phần tử (gồm các phép quay).

Nếu chúng ta tìm 1 phép phản xạ $d^x \circ s$ bất kỳ nào đó (trong 1 nhóm con chứa hỗn hợp các phép quay và phản xạ) vậy thì các phép phản xạ có thể được viết dưới dạng $d^{ka+r} \circ s$, với k cố định. Ngoài ra do ta yêu cầu lũy thừa của d^a, say d^{la} phải nằm trong nhóm con này do đó $d^{(l+k)a+r} \circ s$ cũng thuộc vào trong đó. Do đó ta lại nhận được n/a (modulo n) tương ứng với l+k. Với k+l = n tất nhiên là $d^r \circ s$ cũng nằm trong nhóm con đó.

Bây giờ có n/a các phép phản xạ. Ứng với 1 giá trị a cố định, chúng ta có thể nhận được k các nhóm con khác nhau như trên. Với mỗi a ước số của n ta nhận được a các nhóm con đẳng cấu với $D_{n/a}$. Do đó nếu q là ước số của n vậy thì nhóm con cyclic sinh bởi $d^q$ và nhóm con dihedral $D_q$ là các nhóm con của $D_n$. Hiển nhiên nhóm con cyclic $<d^q>$ là normal subgroups của $D_n$.

Tổng kết lại các normal subgroups có dạng $<d^q>$ và $D_{n/2}$.

(có cách nhanh nhất là tra ATLAS, i hope so).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 05-11-2007 - 06:08

[Alexi Laiho]

Nói về Dihedral group và các aspects xung quanh nó cũng là 1 vấn đề hay. Due to my knowlege thì nó go back to Klein, người đầu tiên write down the classification of finite subgroups of $PGL_2(\mathbb{C})$. Như đã biết các nhóm con hữu hạn của SO(3) là Z_n, D_n, O, T, I. Với PGL_2, thì các nhóm con hữu hạn được phân loại như là các nhóm cyclic dihedral, tetrahedral, octahedral and icosaedral groups.

Vấn đề classical này relate rất mạnh với Moduli space của canonical curves of genus 3 thông qua Geiser involution. Tôi không có hy vọng trong 1 bài viết nhỏ trên diễn đàn có thể trình bầy được hết các connections cũng như aspects của this problem. Chỉ có thể giới thiệu đôi dòng về Klein curve. 1 well-known result của Hurwitz cho biết, maximal bound cho cấp nhóm các tự đẳng cấu của 1 đường cong là $84(g-1)$, đường cong Klein là đường cong X mà Aut(X) đạt giá trị maximal này, namely $|Aut(X)| = 168$. Phương trình thuần nhất của đường cong được cho bởi $X^3Y + Y^3Z + Z^3X = 0$. One sees immediately $Aut(X) = PSL_2(\mathbb{F}_7)$ (Klein đã write down unimodular matrix của 1 tự đẳng cấu có cấp 2). Đây là 1 nhóm đơn, sử dụng modular forms chúng ta có thể thấy đường cong Klein đẳng cấu với compactification của đường cong modular $X(7)$ tương ứng với nhóm con principal congruent modular $\Gamma(7)$.

Trong họ các đường cong này còn 1 loại nữa là Fermat quartic, given by $X^4 + Y^4 + Z^4 = 0$, có thể xem như 1 trường hợp thú vị trong quantum cohomology, nhưng với number theoretist chắc uninteressting.

1 vấn đề thú vị khác xuất phát từ GIT, nhưng để lúc khác viết. Các kết quả classical thì well-known, nhưng tìm được 1 chứng minh trong modern context cho các kết quả classical cũng rất thú vị.

[eigen']

Thanks a lot! It's really helpful for me.

[madness]

Tổng kết lại các normal subgroups có dạng $<d^q>$ và $D_{n/2}$.

(có cách nhanh nhất là tra ATLAS, i hope so).

i made use of the semidirect product definition of D_2n (my D_2n is equivalent to Alexi Laiho's D_n) and got the same answer -- it was just a menial computation.

---------------------

If we define D_2n as Z/n-sp-Z/2 (sp: semidirect product), where the multiplication law is given by
(s,0)(t,b)=(s+t,b) (b=0 or 1; s and t are elements of Z/n)
(s,1)(t,b)=(s-t,1+b) (b=0 or 1; s and t are elements of Z/n),
then all normal subgroups N of D_2n can be described as follows:

a. when n is odd:
either N=<(s,0)> for some s|n
or N=D_2n

b. when n is even:
either N=<(s,0)> for some s|n
or N= <(2,0)> \union <(2,1)> (in which case N is D_(2n/2)=D_n)
or N=D_2n

---------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi madness: 05-11-2007 - 21:07

[madness]

True, it is a lot easier that way. I've heard that this can also be done in the infinite case?

i don't really get what you mean by infinite case here.

my simple guess would be that there is a simple definition of the semidirect product of Z and Z/2, i.e. G=Z-sp-Z/2 (sp: semidirect product), in which case Z is a normal subgroup of G.

but i don't know whether this new definition has any geometric interpretation!?

[Alexi Laiho]

i don't really get what you mean by infinite case here.

my simple guess would be that there is a simple definition of the semidirect product of Z and Z/2, i.e. G=Z-sp-Z/2 (sp: semidirect product), in which case Z is a normal subgroup of G.

but i don't know whether this new definition has any geometric interpretation!?

I dont know too what does it mean by infinite dihedral group. But i guess that is $D_{2 \infty}$ in sense of Serre (take a look in his book "Linear representation of finite groups". I think in this case one can do analysis, namely integral or something like that.

[Alexi Laiho]

Nhân cái đề tài này post lên đây vài aspects từ tập bài giảng Icosaedral của Felix Klein cũng hay (Vorlesung über Ikosaeder). Xuất phát từ classical Galois theory, người ta nghiên cứu tính giải được của pt đại số cho bởi 1 đa thức $P(x) = x^n + \sum_{i=1}^{n-1}a_i x^i$. Gọi k là trường sinh bởi a_1,...a_n over Q và K = k(x_1,...,x_n) là trường phân rã của nghiệm x_1,...,x_n. Gọi Gal(K,k) là nhóm Galois tương ứng.

Trong lý thuyết nhóm hữu hạn G thì mỗi nhóm có 1 chuỗi hợp $G_m = 1 \subset ... \subset G_1 = G$, với mỗi $G_i$ normal trong $G_{i-1}$ và nhóm thương cho bởi chúng là nhóm đơn. 1 chuỗi hợp như thế của 1 nhóm Galois tương ứng với 1 dẫy tăng các trường $k = k_1 \subset k_2 \subset ... \subset k_m = K$, trong đó mỗi trường con $k_i = K^{G_i}$ là trường bất động dưới nhóm G_i. Mỗi trường bất động $k_{i+1}$ là 1 mở rộng Galois của k_i với nhóm Galois tương ứng là G_{i+1}/G_i

Bài giảng về Icosaedral của Klein xoay xung quay câu hỏi về nhóm icosaedral $A_5$, tương ứng với bên lý thuyết Galois về phương trình bậc 5. Hình học mà nói người ta chuyển lên mặt cầu $\mathbb{P}^1$, do đó phép quay trong nhóm Icosaedral G sẽ được realized như là phép biển đổi tuyến tính $z \rightarrow \dfrac{az+b}{cz+d}$. Bằng cách chọn a,b,c,d hợp lý Klein đã nhúng nhóm G vào nhóm tuyến tính xạ ảnh $PGL_2(\mathbb{Q}(\zeta_5)), \zeta_5 = e^{2 \pi i /5} $. Dưới tác động của G, người ta nghiên cứu quỹ đạo của nó, $p: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1/G$. Có thể chứng minh được, đây là 1 ramified covering of degree 60 (tương ứng với cấp của A_5). Phương trình Icosaedral được cho bởi đa thức trông rất khủng bố như sau:

$((z^{20}+1)-228(z^{15}-z^5)+494z^{10})^3 + 1728uz^5(z^{10}+11z^5-1)^5 = 0$

Với $u = H(z,1)^3/1728f(z,1)^5$. Các hàm được cho bởi:

$f = z_1z_2(z_1^{10} + 11 z_1^5z_2^5 - z_2^{10})$

$H = -(z_1^{20} + z_2^{20}) + 228(z_1^{15}z_2^5 - z_1^5z_2^{15}) - 494z_1^{10}z_2^{10}$.

Lời giải của bài toán Icosaedral về tính giải được của pt trên được cho bởi Schwarz, xuất phát từ phương trình vi phân hypergeometrical. Tuy nhiên in modern context thì người ta dùng modular form, namely $\Gamma(5)$ nhóm con principal congruent của nhóm modular. Dễ thấy $PSL_2(\mathbb{F}_5) = A_5$. Với u như ở công thức bên trên, người ta chuyển về phương trình modular $J(\tau) = u$, với $J(\tau) = 1/1728 (1/q + 744 + 196884q+...), q = e^{2 \pi i \tau), \tau \in \mathcal{H} = \{\tau \in \mathbb{C}| Im(\tau) > 0 \}$.

Tính giải được của pt modular được tấn công bởi elliptic curves. Tất nhiên là 1728 là con số nói lên đường cong này. Được hiểu 1 cách giải tích thì đường cong elliptic E cho bởi thương $\mathbb{C}/\Lambda$ với $\Lambda = \{ \int_{\gamma} \omega | \gamma \in H_1(E,\mathbb{Z})\}$, và $E = \mathbb{C}/(1+\tau)\mathbb{Z}$.

Phương trình vi phân Weierstraße gives us then dạng chuẩn tắc của elliptic curve $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$. Do đó để giải phương trình modular, người ta xác định đầu tiên 1 đường cong elliptic với J-invariant u. Nghiệm của pt này sẽ được cho bởi thương của 2 tuần hoàn nguyên thủy (primitive periods), \omega_1 và \omega_2. Nó được cho bởi explicite như sau $\omega_i = \int_{\gamma_i} \dfrac{dx} {\sqrt{4x^3 - (x+1)27u/(u-1)}}$, với \gamma_i là basis của homology H_1(E,Z).

Bây giờ nói sang lý thuyết biểu diễn 1 chút. Cho G là 1 nhóm hữu hạn, V là biểu diễn tuyến tính của nó. Người ta thường quan tâm tới ánh xạ ngược của thương q: V ----> V/G. Bài toán được phát biểu như sau: cho k-đại số k[V] với vành các bất biến k[V]^G, trong đó V và V/G là lược đồ affine. Gọi L là 1 mở rộng của k, bao đóng đại số của nó tạm gọi là cl(L). Hãy tìm tất cả các điểm x trong V(cl(L)) với q(x) = u.

Các phương trình bậc 6, bậc 7 cũng được Klein nghiên cứu tương ứng với nhóm Galois A_6 và A_7. 1 vấn đề khác cũng khá thú vị là 27 đường cong trên 1 mặt cubic. Ở đây người ta dùng trong lý thuyết biểu diễn thay vì nhóm Galois là nhóm Weyl W(E_6) tương ứng với hệ nghiệm E_6. Vẫn sử dụng Modular Form, chúng ta có thể thấy nhóm đơn tương ứng với nó là nhóm symplectic xạ ảnh $PSp_4(\mathbb{F}_3)$ có cấp 25920. Tuy nhiên ở đây phải dùng dạng modular hyperellitpic (tương ứng với đường cong hyperelliptic of genus 2) on level 3 (\Gamma(3)). Klein đã xây dựng được biểu diễn 4 chiều của nhóm symplectic Sp_4(F_3).

Cũng nên để ý rằng, bên cạnh lý thuyết của Klein, Hilbert cũng phát triển 1 nhánh khác xung quanh các aspect của lý thuyết nghiệm các phương trình đa thức. Có thể xem Hilbert 13.problem.
Mệt quá, hôm khác chưởng tiếp.