Chủ đề này có 2 trả lời

[seven]

Tính giới hạn của 2 tổng sau:

$$\;li{m_{n \to \infty }}\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{n}{{{n^2} + {i^2}}}} $$
$$\;li{m_{n \to \infty }}\dfrac{3}{n}\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\sqrt {\dfrac{n}{{n + 3i}}} } $$

2 bài trên mình lấy từ sách olympic sv của thầy Nguyễn Văn Mậu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 03-11-2011 - 08:48
Lỗi LaTex

[mathman145]

tính giới hạn của 2 tổng sau:

$ \ lim_{n\to \infty } \sum_{i=1}^n \dfrac{n}{ n^{2} + i^{2}} $

$ \ lim_{n\to \infty }$ $ \dfrac{3}{n}$$\sum_{i=0}^{n-1}\sqrt{\dfrac{n}{n+3i} $

2 bài trên mình lấy từ sách olympic sv của thầy Nguyễn Văn Mậu

Cả hai bài đều coi là tổng tích phân của một hàm trên đoạn [0,1], với phân hoạch là lưới đều, bước =1/n.
Bài 1 là hàm
$\dfrac{1}{{1 + x^2 }}$
Bài 2 là
$\sqrt {\dfrac{1}{{1 + 3x}}}$

[MyLoveIs4Ever]

Cụ thể hơn
Cái tổng đó là tổng tích phân Riemman của hàm f tương ứng với phân hạoch đều trên
$ [1,0] $
Dùng định nghĩa tích phân nếu $ f $ liên tục trên $ [a,b] $ thì:
$ \S\limits_{n-> \infty} = \int_{0}^{1} f(x) $
Với $ S_n = \sum f(\alpha_i)(x_i-x_{i-1}) $; $ \alpha_i $ thỏa $ =a+i\dfrac{b-a}{n} $ ; $ \in [x_i;x_{i-1}] $ $ ( x_i = a+i\dfrac{b-a}{n} ) $


Áp dụng ta có $ \dfrac{n}{n^2+i^2} = \dfrac{1}{n}.\dfrac{1}{1+(\dfrac{i}{n})^2} $
Xét hàm $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} $ dễ thấy liên tục trên $ [0,1] $
Chọn số như trên
Đặt $ VT=S_n $ thì $ \S\limits_{n-> \infty}= \int_{0}^{1} f(x) = arctanx|^1_0 =\dfrac{\pi}{4} $