Đề thi vòng I
Thời gian làm bài: 180 phút, ko dùng bất kì loại máy tính nào
Bài 1:
Dãy số ${u_n}, n=0,1,2,...$ các số tự nhiên đôi một khác nhau xác định như sau: $u_0,u_1=1$ còn với mọi $n\ge 2$ thì $u_n$ là số nhỏ nhất trong các số tự nhiên không tạo thành với bất kì hai số nào đứng trước nó của dãy một cấp số cộng. Chứng minh rằng số hạng tổng quát $u_k$ của dãy là số nhận được từ số $k$ viết trong hệ cơ số $2$ nhưng đọc trong hệ cơ số $3$.
Bài 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$
trong đó $x,y$ là các số thực thoả mãn $2x-y=2$Bài 3:
Một tỉnh có một số tuyến xe bus và một số $\ge 2$ bên xe bus. Biết rằng:
a, Mỗi tuyến xe bus có đúng 3 bến xe.
b, Hai tuyến xe bus bất kì có chung nhau đúng một bến xe.
c, Với 2 bến xe bất kì có đúng một tuyến xe bus đi qua chúng.
Hỏi có bao nhiêu tuyến xe bus.
Bài 4:
Tìm mọi giá trị của tham số $a$ để phương trình $ax^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$
Bài 5:
Cho $a>0$ và khác $1$. Tìm giới hạn của:
$ lim\limits_{x\to a^+} \dfrac{x^a^x-a^x^a}{x^x^x-a^a^a}$
Bài 6:
Cho tứ diện $OABC$ vuông ở $O$ ($OA,OB,OC$ vuông góc từng đôi một). Gọi $\alpha, \beta , \gamma $ lần lượt là góc hợp bởi các mặt $OBC,OCA,OAB$ với mặt $ABC$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$\left(\dfrac{1}{\tan{ \alpha }\tan{ \beta }}+\dfrac{1}{\tan{ \beta }\tan{ \gamma }}+\dfrac{1}{\tan{ \gamma }\tan{ \alpha }}\right)^2+\dfrac{6}{(\tan{ \alpha }\tan{ \beta }\tan{ \gamma) }^2}$
Bài 7:
Cho $a,b,c$ là các số thực . Chứng minh rằng:
$a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\ge 0$
Đề thi vòng II
Thời gian làm bài: 180 phút, ko dùng bất kì loại máy tính nào
Bài 1:
1, Cho x,y là các số thoả mãn $x>y>e$ trong đó$e= lim\limits_{x\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$. So sánh $x^y$ và $y^x$
2, Có tồn tại hay không các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho $f(g(x))=x^2$ và $g(f(x))=x^4,\forall x\in \mathbb{R}$
Bài 2:
1, Giải phương trình sau:
$\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2|x|$
2, Cho $ABCD$ là một tứ diện cố định có mặt cầu ngoại tiếp $(O)$. Xét một điểm thay đổi $M$ nằm trong tứ diện $ABCD$. Các tia $AM,BM,CM,DM$ lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp $(O)$ tại $P,Q,R,S$. Gọi $G_1,G_2,G_3,G_4$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,CDA,DAB,ABC$. Trên các tia $PG_1,PG_2,PG_3,PG_4$ lần lượt lấy các điểm $U,V,Z,T$ sao cho:
$2PU=3PG_1,2QU=3QG_2,2RU=3RG_3,2SU=3SG_4$
Chứng minh rằng mặt cầu qua các điểm U,V,Z,T luôn luôn qua một điểm cố định.
Bài 3:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{abc}$
Bài 4:
Giải hệ phương trình sau:
$x^2+3x+\ln{(2x+1)}=y$
$y^2+3y+\ln{(2y+1)}=x$
Bài 5:
Cho đường tròn $(O)$ và 2 bán kín $AB, CD$ ko vuông góc. Tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ cắt $AC$ tại $P$. PD cắt đường tròn $(O)$ tại $G$. Chứng minh rằng:
$BC,PO,AG$ đồng quy
Nói chung đề cũng khá bình thường. Vòng 1 nhiều hơn và khó hơn. Tuy nhiên nhìn chung cũng ko quá khó ở cả 2 vòng
Hix gõ thiếu mấy bài vòng 2... Đã bổ sung
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 08-11-2007 - 00:23
