Chủ đề này có 6 trả lời

[Kakalotta]

Tự nhiên hôm nay ăn cơm với một thằng bạn, tán gẫu linh tinh về việc teaching Girlfriend to do math, mới té ngửa ra là mình hoàn toàn chả biết tý gì về Sylow subgroups của nhóm hữu hạn cả.

Có mấy cái định lý cơ bản sau:
1-luôn tồn tại các sylow subgroup
2-các sylow subgroup là conjugated.

Có ai hiểu 2 cái định lý này không? Bởi vì rằng, đối với một nhóm Lie compact, luôn tồn tại các maximal torus, và các maximal torus là conjugated dưới tác động của nhóm Weyl. So, there should be something relating two facts, but i dunno.

Một cái khác là lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie compact hầu hết nhận được từ holomorphic induction từ biểu diễn của maximal tori, i.e. ứng với các highest weight representation, sau khi fix một cái Kahler structure cho cái flag manifold và xây dựng một cái line bundle. Tuy nhiên, với tôi thì việc làm cái trò này cho các nhóm hữu hạn gặp khó khăn, vì tôi không biết cách định nghĩa khái niệm complex/Kahler structure cho finite set và sylow subgroup.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 14-11-2007 - 15:06

[Alexi Laiho]

Ái chà, cái này được đấy, tối về nhà rảnh rỗi trả lời. Tôi cũng đang làm p-nhóm Sylow này, thực ra cũng đơn giản thôi. Không cần dùng tới Kähler structure, the only thing you need là cohomology group, say central extension. Có 1 điểm đáng chú ý, in some example ta có thể hiểu p-Sylow subgroup thông qua Heisenberg group, say các ma trận tam giác có đường chéo gồm toàn 1, các entries còn lại \in F_p (finite field). Tối về hy vọng có thể give được 1 ví dụ thú vị cho cái trò p-nhóm này với Geometry của cubic surfaces.

Trên thực tế trong trường hợp liên tục mà KK nói, người ta cũng làm cho rời rạc hệt như vậy (in some sense). Dùng biểu diễn của nhóm hữu hạn, tính vài invariant rings, theo tôi hiểu thì phần này các classical references có thể xem Burnside.

[Kakalotta]

Tức là cái nhóm sylow có thể được nhúng vào các nhóm kiểu Heisenberg over finite field à.
Nếu vạy thì có thể sử dụng hình học noncommutaive và hình học poison trên trường hữu hạn để làm cái thằn này. Tôi có chơi với một thằng visiting post doc làm về và hình học noncommutative và quantization of nilpotent group over (Fp), chắc là cái trò này nó cũng thạo.

[toanhoc]

Câu hỏi hay. Tôi assume là không có connection giữa maximal torus/Cpt Lie gp và Sylow/finite gp, chỉ là sự trùng hợp về ý tưởng nhưng nếu ai chỉ ra được connection này thì thú vị đấy.
Tôi không nhìn ra cách lấy thông tin về representation thông qua cohomology, let's say in finite groups. Chiều ngược lại thì có thấy qua đôi lần. Hình như gs Phạm Anh Minh và gs Nguyễn Hữu Việt Hưng có dùng representation để lấy thông tin về cohomology. Về các invariant rings tôi cũng chỉ biết 1 chút qua cohomology of symmetric groups. Về Dickson invariant thì thầy Hưng là chuyên gia hàng đầu rồi (và có lẽ cà anh Trần Ngọc Nam). Tôi chờ các bài viết tiếp sau của các bạn.

[Alexi Laiho]

Thì tất nhiên là modular invariant theory thì toàn do dân topo đại số nghiên cứu rồi. Ý tôi cũng không hẳn là read off representation from cohomology, hãy lấy ví dụ thế này (mặc dù cũng không hẳn chính xác ý tôi định nói): Nhóm binary icosahedral group G với cấp |G|=120, được xem như 2-1 covering của A_5 (nhóm thay phiên). Cohomology của nhóm này được cho bởi $H^1(\mathcal{A}_5, \mathbb{Z}_2) = 0, H^2(\mathcal{A}_5, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$, mà ta biết nhóm lớp các mở rộng (central extension) đẳng cấu với cohomology H^2, do đó tồn tại duy nhất 1 mở rộng $1 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \rightarrow \tilde{\mathcal{A}}_5 \rightarrow \mathcal{A}_5 \rightarrow 1$. 2-Sylow subgroup của nhóm mở rộng này chính là nhóm quarternion Q_8, do đó nhóm binary icosahedral trong trường hợp này chính là mở rộng tâm của A_5.

Mặt khác phủ 2:1 của SO(3) chính là Spin(3), mà nhóm A_5 là nhóm con hữu hạn của SO(3) (Theo classification của Klein), So you can view nhóm binary icosahedral $G = \mathcal{A}_5 \times <-1>$ như là nghịch ảnh của A_5 trong Spin(3) = SU(2) = S^3 (3-Sphere). I will try to give some geometric motivation behind this group theory. Về nhóm Heisenberg over finite fields, I mean theta divisors or theta characteristic of curves.

[Alexi Laiho]

Maybe i should try to give another example before i come to the geometry. ( Thông cảm, hôm nay Seminar mệt quá, tối về mệt lử cò bợ, chỉ nghĩ được mấy ví dụ)

Due to the notation of group theoretist, let $H = 3^{1+2}_p$, with $|H| = 27$, p prime. Maybe this number 27 tells you the number of lines on cubic surface $S \rightarrow \mathbb{P}^3$ (embedding given by the linear system |-2K_S|. In fact, the semi-direct product of H and central extension of S_4 by Z/2 is one of the maximal subgroups of the Weyl group $W(E_6)$ (I think ATLAS is useful). You can show $W(E_6) \simeq SO(5,\mathbb{F}_3)$. If we look at to the 3-Sylow subgroups of H, then there is only one central extension for H ( I hope that i've computed correct). So you take the Heisenberg over $\mathbb{F}_p$, p prime as above, then H = Heisenberg in this case.

(Something is wrong, sory, mệt quá, hy vọng bạn nào phát hiện hộ vài chỗ sai). That is just an example. Hình học behind nó is much more complicated, nhưng hoàn toàn classical.

[Alexi Laiho]

Híc híc, có lẽ mình làm mọi người bị confuse. However thì Heisenberg group with entries in F_p is the same as some extra specical groups. (Công nhận tra ATLAS xong thấy biết thêm nhiều loại nhóm).

Trời ơi, cả CFT lẫn Von Neumann algebras đều đã thâm nhập sang bên hình học đại số với nhóm hữu hạn rồi này. Anh KK có thể giải thích sơ qua Virasoro algebra cho mọi người nắm sơ cái ý tưởng của nó được không? Theo tôi hiểu CFT là 1 bộ ba gồm 1 không gian Hilbert, 1 hệ toán tử, và 1 đại số A, mà đại số A này chứa Virasoro algebra acting on Hilbert space.

Cái McKay correspondence của finite groups nó lan sang cả String theory / đại số toán tử rồi kìa, hic hic dã man quá. Về vật lý toán tôi mù tịt nên phải lợi dụng KK ở điểm này. Tôi đang based on "Hilbert schemes and simple singularities" của Ito và Nakamura, tôi thấy nó kết hợp CFT với Von Neumann algebras với finite groups, nhưng không sao hiểu được từ phía vật lý toán.