Đến nội dung

Hình ảnh

Hướng Tới Kỳ Thi Giải Toán Trên Máy Tính Khu Vực Lần 7

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
Đề Số 1: (Thời gian lam bài: 60 phút)

Bài 1:

a) Tính đúng giá trị của $A=10469^3-3579^3-2468^3-4422^3$

b) Cho đa thức:

$P(x) = \dfrac{1}{630}x^9-\dfrac{1}{21}x^7+\dfrac{13}{30}x^5-\dfrac{82}{63}x^3+\dfrac{32}{35}x$

Tính đúng các giá trị của $P(15), P(25), P(35)$ và tìm số các ước khác nhau của $P(35).$

Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình (tính kết quả gần đúng đến số thập phân thứ $14$) và bất phương trình sau:

$a) 5x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}+2\sqrt{x^2+8x}<43$

$b) 13^{11}+17^{13}.5^{\sqrt{x^2-1}}=19^{13}+11^9$

$c) \dfrac{x^5- \sqrt[3]{x} +1}{9^x}=\sqrt[3]{2}$

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia $1999^{2000} $cho$ 31.$

Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên$ (x,y) $không âm thỏa mãn phương trình sau:

$x^3+8x+73y^4=x^2+1680.$

Bài 5:

a) Tìm số nguyên $n$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau được thỏa:

$[\sqrt[n]{2008}] >1.$

b) Cho $U_{0}=2008$

$U_{n+1}=\dfrac{U_{n}^2}{U_n+1}, n=1,2...$

Tìm $[U_{1000}] $? (Trong đó [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a)

(Kết quả và lời giải chi tiết mình sẽ post lên sau!)

Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TP Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#2
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết


Bài 1:


a) Tính đúng giá trị của $A=10469^3-3579^3-2468^3-4422^3$

b) Cho đa thức:

$P(x) = \dfrac{1}{630}x^9-\dfrac{1}{21}x^7+\dfrac{13}{30}x^5-\dfrac{82}{63}x^3+\dfrac{32}{35}x$

Tính đúng các giá trị của $P(15), P(25), P(35)$ và tìm số các ước khác nhau của $P(35).$


Đáp án:

Đáp số:

$a) A=1000056911490$

$b) P(15) = 53209728$ ;

$P(25) = 53209728 ;$

$P(35) = 122063116032$

Số các ước số khác nhau: $1728.$

Chi tiết:

$a) A=(3579+2468+4422)^3 -3579^3-2468^3-4422^3$

$=3(3579+2468)(2468+4422)(4422+3579)$ (Bạn tự chứng minh!)

$=3.6047.6890.8001$

$=18141.55126890$

$=18141(55120000+6890)$

$=999931920000+124991490$

$=1000056911490$.

b) Nhập biểu thức $P(x)$ vào máy rồi thử lần lượt các giá trị từ $-4 $đến $4$ vào $x$ ta nhận các giá trị từ $-4$ đến $4$ làm $7$ nghiệm. Vậy $P(x)$ có dạng:

$P(x)=\dfrac{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{630}$

Thế trực tiếp $15 $vào ta được $P(15), 25 $vào ta được P$(25).$

$P(35)$ ta tính được bằng cách phân tích thành nhân tử:

$P(x)=2^8.3^2.11.13.17.19.31.37$

Tính tương tự câu a) ta được kết quả: P(35)

Số các ước số khác nhau là: $(8+1).(2+1).(1+1)^6=1728.$ (Bạn tự chứng minh công thức này!).


Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#3
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình (tính kết quả gần đúng đến số thập phân thứ $14$) và bất phương trình sau:

$a) 5x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}+2\sqrt{x^2+2x}<43$

$b) 13^{11}+17^{13}.5^{\sqrt{x^2-1}}=19^{13}+11^9$

$c) \dfrac{x^5- \sqrt[3]{x} +1}{9^x}=\sqrt[3]{2}$


Đáp án:

Đáp số:

$a) 0 \leq x \leq 4,450058954754$

$b) x ~= 1,34428082524917$

$c) x_1 ~= -0,01180118178409$

$x_2 ~= -1,14205273297388$

Chi tiết:

$a)$ Xét $f(x) = \sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}+2\sqrt{x^2+8x}$

Vì $f'(x) > 0 \forall x \geq 0$ (Bạn tự chứng minh!)

Suy ra: $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $[0;+\infty).$ Mặc khác: ta có $f(4,4500589547539) ~= 43$. (Ta giải phương trình $f(x) = 43$, tìm$ x$ gần đúng)

Vậy bất phương trình có nghiệm gần đúng là: $0 \leq x \leq 4,4500589547539.$

$b)$ Viết lại phương trình dạng:

$5^{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{19^{13}-13^{11}+11^9}{17^{13}}$

Gán $A= \dfrac{19^{13}-13^{11}+11^9}{17^{13}}$ ta suy ra:

$x = \sqrt{(log_5A)^2+1}.$ Từ đó ta được kết quả gần đúng của $x$ là $1,344280825$. Ghi vào màn hình biểu thức: $\sqrt{(log_5A)^2+1} -1,3442808$ bấm $=$ ta được kết quả là $2,524917.10^{-8}.$

Từ đó suy ra kết quả $x ~= 1,34428082524917.$

$c)$ Ta có $f(0) ~= -0,3$

$f(-0,1) ~= 0,6$

$f(-1,1) ~= 3,5$

$f(-1,2) ~= -7,2$
Dùng chức năng có sẵn trên máy để giải phương trình bằng cách thế hai giá trị thích hớp trong hai khoảng $(-0,1;0)$ và $(-1,2;-1,1)$ ta được hai nghiệm gần đúng của phương trình.

Để tính đến số thập phân thứ 14 ta làm tương tự câu b), bằng cách gán nghiệm vừa tìm được vào $A,B... $ sau đó ghi vào màn hình biểu thức $A -$ (giá trị gần đúng vừa tìm được) ta được kết quả:

$x_1 ~= -0,01180118178409$

$x_2 ~= -1,14205273297388$.

(Chú ý dấu $" = "$ trên đây là thể hiện kết quả gần đúng!)


Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#4
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia $1999^{2000} $ cho$ 31.$


Đáp án:

Đáp số:

Số dư là $1.$

Chi tiết:

$1999^{2000} \equiv 15^{2000} = 225^{1000} \equiv 8^{1000} = 64^{500} \equiv 2^{500} =(2^{20})^{25} \equiv 1^{25} =1 (mod 31).$

Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#5
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn phương trình sau:

$x^3+8x+73y^4=x^2+1680.$


Đáp án:

Đáp số: $(x;y) = (12;0) ,(8;1).$

Chi tiết:

Viết lại phương trình về dạng:

$y^4=\dfrac{-x^3+x^2-8x+1}{73}+23$

Ta có: $-x^3+x^2-8x+1<0 \forall x \geq 1 $ ( $x=0$ không thoả mãn).

Suy ra $0 \leq y \leq 3$

Thế lần lượt $y=0, 1, 2, 3$ rồi giải phương trình bậc $3$ theo $x$ ta tìm được $2 $cặp nghiệm: $(x;y) = (12;0) , (8;1).$


Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#6
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 5:

a) Tìm số nguyên $n$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau được thỏa:

$[\sqrt[n]{2008}] >1.$

b) Cho $U_{0}=2008$

$U_{n+1}=\dfrac{U_{n}^2}{U_n+1}, n=1,2...$

Tìm $[U_{1000}] $?


Đáp án:

Đáp số:

$a) n = 10.$

$b) [U_{1000}] = 1008.$

Chi tiết:

a) Ta có $[\sqrt[n]{2008}] > 1 \Rightarrow 2008 \geq 2^n$

Lại có: $2^{10} < 2008 < 2^{11} $, từ đó suy ra $n = 10.$

b) Chứng minh toán học:

Ta có: $U_n-U_{n+1}=U_n-\dfrac{U_n^2}{U_n+1}=\dfrac{U_n}{U_n+1} > 0$

Suy ra: $U_0>U_1>...>U_n>...$

Ta lại có: $U_n = U_0+(U_1-U_0)+...+(U_n-U_{n-1}) = 2008 - n +\dfrac{1}{U_0+1}+...+\dfrac{1}{U_{n-1}+1} > 2008 - n.$

Khi $0 \leq n \leq 1005 $ ta có:

$\dfrac{1}{U_0+1}+...+\dfrac{1}{U_{n-1}+1} < \dfrac{n}{U_{n-1}+1} < \dfrac{1005}{U_{1004}+1} < \dfrac{1005}{2008-1004+1} =1$.

Từ đây suy ra $2008 - n < U_n <2009 - n$

hay $[U_n] = 2008 - n.$

Suy ra: $[U_{1000}] = 2008 - 1000 =1008.$

Tính trên máy ta được:

$U_1 = 2007,000498$

$U_2 = 2006,000996$

$U_3 = 2005,001494$

$U_4 = 2004,001993$
.....

$U_{27} = 1981,013527$
.....

Vậy: $[U_{1000}] = 1008.$

Nguyễn Đức Tuấn THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#7
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
Đề số 2: (Thời gian làm bài 60 phút).

Bài 1:

Cho dãy số được xác định bởi: $U_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$U_{n+1}=\dfrac{U_n+2-\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3}-2).U_n}$

Tính $U_{2008}$ ? Dãy số $U_n$ có đặc điểm gì?

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

$A=\sqrt{x}.(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}})+\dfrac{\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.\sqrt[6]{7+4\sqrt{3}}-x}{\sqrt[4]{9-4\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{x}}$.

Bài 3: Cho họ đường tròn có phương trình:

$x^2+y^2 - 2(m+1)x-4my-5=0$

Tìm tọa độ các điểm cố định thuộc họ đường tròn khi $ m $ thay đổi tùy ý.

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$f(x)=sin^6x-2cos^6x+8sin^4x+cos^4x+2sin^2x+12cosx-2 \forall x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$.

Bài 5: Cho tổng sau:

$A = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+3^2}+\sqrt[4]{\dfrac{2}{3^2}+4^3}+...+\sqrt[39]{\dfrac{37}{38^{37}}+39^{38}}$

Tìm nghiệm của phương trình: $[A]^{-1}.x^7 - x+[A]^{-2} = 0.$

Bài 6: Tìm 4 chữ số tận cùng của số $2008^{2007}$

Nguyễn Đức Tuấn THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#8
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 1:

Cho dãy số được xác định bởi: $U_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$U_{n+1}=\dfrac{U_n+2-\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3}-2).U_n}$

Tính $U_{2008}$ ? Dãy số $U_n$ có đặc điểm gì?


Đáp án:

Đáp số:

$U_{2008}=2+\sqrt{3}=3,732050808$

Dãy số ${U_n}$ là dãy tuần hoàn theo chi kì $T=12.$

Chi tiết:

Dễ dàng chứng minh $U_n=tan[\dfrac{\pi}{6}+(n-1)\dfrac{\pi}{12}]$ bằng qui nạp.

Từ đó suy ra $ U_{2008}=tan(\dfrac{\pi}{6}+2007.\dfrac{\pi}{12})=2+\sqrt{3}.$

Ta đi đến các kết quả.


Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#9
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

$A=\sqrt{x}.(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}})+\dfrac{\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.\sqrt[6]{7+4\sqrt{3}}-x}{\sqrt[4]{9-4\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{x}}$.


Đáp án:

Đáp số: $A=1$.

Chi tiết:

Nhập biểu thức vào màn hình sau đó thế x=1, 2, 3, 4.... ta đều được giá trị của biểu thức là $1$. Tư đó suy ra kết quả.

Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#10
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 3: Cho họ đường tròn có phương trình:

$x^2+y^2 - 2(m+1)x-4my-5=0$

Tìm tọa độ các điểm cố định thuộc họ đường tròn khi $ m $ thay đổi tùy ý.



Đáp án:

Đáp số:

$M_1=(2-\sqrt{29};\dfrac{\sqrt{29}-2}{2})=(-3,385164807;1,692582404);$

$M_2=(2+\sqrt{29};-\dfrac{2+\sqrt{29}}{2})=(7,385164807;-3,692582404).$

Chi tiết:

Tọa độ điểm cố định phải thỏa phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2(x+2y)=0\\x^2+y^2-2x-5=0\end{array}\right.$

Giải phương trình này ta có được $ 2$ điểm cố định là:

$M_1=(2-\sqrt{29};\dfrac{\sqrt{29}-2}{2})=(-3,385164807;1,692582404);$

$M_2=(2+\sqrt{29};-\dfrac{2+\sqrt{29}}{2})=(7,385164807;-3,692582404).$


Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#11
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$f(x)=sin^6x-2cos^6x+8sin^4x+cos^4x+2sin^2x+12cosx-2 \forall x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$.


Đáp án:

Đáp số: $max f(x) =f(0,8959425389)=10,81230124$

$min f(x)=f(0)=f(\dfrac{\pi}{2})=9.$

Chi tiết:

Đặt $y=sin^2x$ $(0 \leq y \leq 1).$

$\Rightarrow f(y)=3y^3+3y^2+6y+12\sqrt{1-y}-3$.

$\Rightarrow f'(y)=9y^2+6y+6-\dfrac{6}{2\sqrt{1-y}}=9y^2+6y+6(1-\dfrac{1}{\sqrt{1-y}})$

$=9y^2+6y+6(\dfrac{\sqrt{1-y}-1}{\sqrt{1-y}})=9y^2+6y+6-\dfrac{y}{(\sqrt{1-y}+1)\sqrt{1-y}}$

Đặt $z=\sqrt{1-y}$ $(0 \leq z < 1 )$

$\Rightarrow f'(y)=y(-9z^2+15-\dfrac{6}{z^2+z})$

$\Rightarrow f'(y)=0 \Leftrightarrow y=0 V -9z^2+15-\dfrac{6}{z^2+z}=0$

$\Leftrightarrow 3z^4+3z^3-5z^2-5z+2=0$

Xét đạo hàm của $f(z)$ với $f(z)=3z^4+3z^3-5z^2-5z+2$

Ta suy ra $f(z)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.(Bạn tự chứng minh!)

Ta tìm được:$ z_1=0,3225793873; z_2=1,187435739$ (loại).

Vậy phương trình $f'(y)=0$ có hai nghiệm: $y_1=0; y_2=0,8959425389$.

Ta có $f(y)=3y^3+3y^2+6y+12\sqrt{1-y}-3$

Suy ra: $f(0)=9; f(0,8959425389)=10,81230124; f(1)=9.$

Từ đây ta đi đến kết quả bài toán.


Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh