Hướng Tới Kỳ Thi Giải Toán Trên Máy Tính Khu Vực Lần 7
#1
Đã gửi 17-11-2007 - 07:29
Bài 1:
a) Tính đúng giá trị của $A=10469^3-3579^3-2468^3-4422^3$
b) Cho đa thức:
$P(x) = \dfrac{1}{630}x^9-\dfrac{1}{21}x^7+\dfrac{13}{30}x^5-\dfrac{82}{63}x^3+\dfrac{32}{35}x$
Tính đúng các giá trị của $P(15), P(25), P(35)$ và tìm số các ước khác nhau của $P(35).$
Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình (tính kết quả gần đúng đến số thập phân thứ $14$) và bất phương trình sau:
$a) 5x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}+2\sqrt{x^2+8x}<43$
$b) 13^{11}+17^{13}.5^{\sqrt{x^2-1}}=19^{13}+11^9$
$c) \dfrac{x^5- \sqrt[3]{x} +1}{9^x}=\sqrt[3]{2}$
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia $1999^{2000} $cho$ 31.$
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên$ (x,y) $không âm thỏa mãn phương trình sau:
$x^3+8x+73y^4=x^2+1680.$
Bài 5:
a) Tìm số nguyên $n$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau được thỏa:
$[\sqrt[n]{2008}] >1.$
b) Cho $U_{0}=2008$
$U_{n+1}=\dfrac{U_{n}^2}{U_n+1}, n=1,2...$
Tìm $[U_{1000}] $? (Trong đó [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a)
(Kết quả và lời giải chi tiết mình sẽ post lên sau!)
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TP Cao Lãnh.
#2
Đã gửi 20-11-2007 - 16:47
Bài 1:
a) Tính đúng giá trị của $A=10469^3-3579^3-2468^3-4422^3$
b) Cho đa thức:
$P(x) = \dfrac{1}{630}x^9-\dfrac{1}{21}x^7+\dfrac{13}{30}x^5-\dfrac{82}{63}x^3+\dfrac{32}{35}x$
Tính đúng các giá trị của $P(15), P(25), P(35)$ và tìm số các ước khác nhau của $P(35).$
Đáp án:
Đáp số:
$a) A=1000056911490$
$b) P(15) = 53209728$ ;
$P(25) = 53209728 ;$
$P(35) = 122063116032$
Số các ước số khác nhau: $1728.$
Chi tiết:
$a) A=(3579+2468+4422)^3 -3579^3-2468^3-4422^3$
$=3(3579+2468)(2468+4422)(4422+3579)$ (Bạn tự chứng minh!)
$=3.6047.6890.8001$
$=18141.55126890$
$=18141(55120000+6890)$
$=999931920000+124991490$
$=1000056911490$.
b) Nhập biểu thức $P(x)$ vào máy rồi thử lần lượt các giá trị từ $-4 $đến $4$ vào $x$ ta nhận các giá trị từ $-4$ đến $4$ làm $7$ nghiệm. Vậy $P(x)$ có dạng:
$P(x)=\dfrac{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{630}$
Thế trực tiếp $15 $vào ta được $P(15), 25 $vào ta được P$(25).$
$P(35)$ ta tính được bằng cách phân tích thành nhân tử:
$P(x)=2^8.3^2.11.13.17.19.31.37$
Tính tương tự câu a) ta được kết quả: P(35)
Số các ước số khác nhau là: $(8+1).(2+1).(1+1)^6=1728.$ (Bạn tự chứng minh công thức này!).
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
#3
Đã gửi 20-11-2007 - 19:16
Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình (tính kết quả gần đúng đến số thập phân thứ $14$) và bất phương trình sau:
$a) 5x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}+2\sqrt{x^2+2x}<43$
$b) 13^{11}+17^{13}.5^{\sqrt{x^2-1}}=19^{13}+11^9$
$c) \dfrac{x^5- \sqrt[3]{x} +1}{9^x}=\sqrt[3]{2}$
Đáp án:
Đáp số:
$a) 0 \leq x \leq 4,450058954754$
$b) x ~= 1,34428082524917$
$c) x_1 ~= -0,01180118178409$
$x_2 ~= -1,14205273297388$
Chi tiết:
$a)$ Xét $f(x) = \sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}+2\sqrt{x^2+8x}$
Vì $f'(x) > 0 \forall x \geq 0$ (Bạn tự chứng minh!)
Suy ra: $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $[0;+\infty).$ Mặc khác: ta có $f(4,4500589547539) ~= 43$. (Ta giải phương trình $f(x) = 43$, tìm$ x$ gần đúng)
Vậy bất phương trình có nghiệm gần đúng là: $0 \leq x \leq 4,4500589547539.$
$b)$ Viết lại phương trình dạng:
$5^{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{19^{13}-13^{11}+11^9}{17^{13}}$
Gán $A= \dfrac{19^{13}-13^{11}+11^9}{17^{13}}$ ta suy ra:
$x = \sqrt{(log_5A)^2+1}.$ Từ đó ta được kết quả gần đúng của $x$ là $1,344280825$. Ghi vào màn hình biểu thức: $\sqrt{(log_5A)^2+1} -1,3442808$ bấm $=$ ta được kết quả là $2,524917.10^{-8}.$
Từ đó suy ra kết quả $x ~= 1,34428082524917.$
$c)$ Ta có $f(0) ~= -0,3$
$f(-0,1) ~= 0,6$
$f(-1,1) ~= 3,5$
$f(-1,2) ~= -7,2$
Dùng chức năng có sẵn trên máy để giải phương trình bằng cách thế hai giá trị thích hớp trong hai khoảng $(-0,1;0)$ và $(-1,2;-1,1)$ ta được hai nghiệm gần đúng của phương trình.
Để tính đến số thập phân thứ 14 ta làm tương tự câu b), bằng cách gán nghiệm vừa tìm được vào $A,B... $ sau đó ghi vào màn hình biểu thức $A -$ (giá trị gần đúng vừa tìm được) ta được kết quả:
$x_1 ~= -0,01180118178409$
$x_2 ~= -1,14205273297388$.
(Chú ý dấu $" = "$ trên đây là thể hiện kết quả gần đúng!)
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
#4
Đã gửi 21-11-2007 - 15:50
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia $1999^{2000} $ cho$ 31.$
Đáp án:
Đáp số:
Số dư là $1.$
Chi tiết:
$1999^{2000} \equiv 15^{2000} = 225^{1000} \equiv 8^{1000} = 64^{500} \equiv 2^{500} =(2^{20})^{25} \equiv 1^{25} =1 (mod 31).$
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
#5
Đã gửi 21-11-2007 - 16:00
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn phương trình sau:
$x^3+8x+73y^4=x^2+1680.$
Đáp án:
Đáp số: $(x;y) = (12;0) ,(8;1).$
Chi tiết:
Viết lại phương trình về dạng:
$y^4=\dfrac{-x^3+x^2-8x+1}{73}+23$
Ta có: $-x^3+x^2-8x+1<0 \forall x \geq 1 $ ( $x=0$ không thoả mãn).
Suy ra $0 \leq y \leq 3$
Thế lần lượt $y=0, 1, 2, 3$ rồi giải phương trình bậc $3$ theo $x$ ta tìm được $2 $cặp nghiệm: $(x;y) = (12;0) , (8;1).$
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao lãnh.
#6
Đã gửi 21-11-2007 - 16:02
Bài 5:
a) Tìm số nguyên $n$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau được thỏa:
$[\sqrt[n]{2008}] >1.$
b) Cho $U_{0}=2008$
$U_{n+1}=\dfrac{U_{n}^2}{U_n+1}, n=1,2...$
Tìm $[U_{1000}] $?
Đáp án:
Đáp số:
$a) n = 10.$
$b) [U_{1000}] = 1008.$
Chi tiết:
a) Ta có $[\sqrt[n]{2008}] > 1 \Rightarrow 2008 \geq 2^n$
Lại có: $2^{10} < 2008 < 2^{11} $, từ đó suy ra $n = 10.$
b) Chứng minh toán học:
Ta có: $U_n-U_{n+1}=U_n-\dfrac{U_n^2}{U_n+1}=\dfrac{U_n}{U_n+1} > 0$
Suy ra: $U_0>U_1>...>U_n>...$
Ta lại có: $U_n = U_0+(U_1-U_0)+...+(U_n-U_{n-1}) = 2008 - n +\dfrac{1}{U_0+1}+...+\dfrac{1}{U_{n-1}+1} > 2008 - n.$
Khi $0 \leq n \leq 1005 $ ta có:
$\dfrac{1}{U_0+1}+...+\dfrac{1}{U_{n-1}+1} < \dfrac{n}{U_{n-1}+1} < \dfrac{1005}{U_{1004}+1} < \dfrac{1005}{2008-1004+1} =1$.
Từ đây suy ra $2008 - n < U_n <2009 - n$
hay $[U_n] = 2008 - n.$
Suy ra: $[U_{1000}] = 2008 - 1000 =1008.$
Tính trên máy ta được:
$U_1 = 2007,000498$
$U_2 = 2006,000996$
$U_3 = 2005,001494$
$U_4 = 2004,001993$
.....
$U_{27} = 1981,013527$
.....
Vậy: $[U_{1000}] = 1008.$
Nguyễn Đức Tuấn THPT TX Cao Lãnh.
#7
Đã gửi 21-11-2007 - 16:32
Bài 1:
Cho dãy số được xác định bởi: $U_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$U_{n+1}=\dfrac{U_n+2-\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3}-2).U_n}$
Tính $U_{2008}$ ? Dãy số $U_n$ có đặc điểm gì?
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
$A=\sqrt{x}.(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}})+\dfrac{\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.\sqrt[6]{7+4\sqrt{3}}-x}{\sqrt[4]{9-4\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{x}}$.
Bài 3: Cho họ đường tròn có phương trình:
$x^2+y^2 - 2(m+1)x-4my-5=0$
Tìm tọa độ các điểm cố định thuộc họ đường tròn khi $ m $ thay đổi tùy ý.
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x)=sin^6x-2cos^6x+8sin^4x+cos^4x+2sin^2x+12cosx-2 \forall x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$.
Bài 5: Cho tổng sau:
$A = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+3^2}+\sqrt[4]{\dfrac{2}{3^2}+4^3}+...+\sqrt[39]{\dfrac{37}{38^{37}}+39^{38}}$
Tìm nghiệm của phương trình: $[A]^{-1}.x^7 - x+[A]^{-2} = 0.$
Bài 6: Tìm 4 chữ số tận cùng của số $2008^{2007}$
Nguyễn Đức Tuấn THPT TX Cao Lãnh.
#8
Đã gửi 06-12-2007 - 12:43
Bài 1:
Cho dãy số được xác định bởi: $U_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$U_{n+1}=\dfrac{U_n+2-\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3}-2).U_n}$
Tính $U_{2008}$ ? Dãy số $U_n$ có đặc điểm gì?
Đáp án:
Đáp số:
$U_{2008}=2+\sqrt{3}=3,732050808$
Dãy số ${U_n}$ là dãy tuần hoàn theo chi kì $T=12.$
Chi tiết:
Dễ dàng chứng minh $U_n=tan[\dfrac{\pi}{6}+(n-1)\dfrac{\pi}{12}]$ bằng qui nạp.
Từ đó suy ra $ U_{2008}=tan(\dfrac{\pi}{6}+2007.\dfrac{\pi}{12})=2+\sqrt{3}.$
Ta đi đến các kết quả.
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
#9
Đã gửi 06-12-2007 - 12:49
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
$A=\sqrt{x}.(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\dfrac{125}{7}}})+\dfrac{\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.\sqrt[6]{7+4\sqrt{3}}-x}{\sqrt[4]{9-4\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{x}}$.
Đáp án:
Đáp số: $A=1$.
Chi tiết:
Nhập biểu thức vào màn hình sau đó thế x=1, 2, 3, 4.... ta đều được giá trị của biểu thức là $1$. Tư đó suy ra kết quả.
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
#10
Đã gửi 06-12-2007 - 13:01
Bài 3: Cho họ đường tròn có phương trình:
$x^2+y^2 - 2(m+1)x-4my-5=0$
Tìm tọa độ các điểm cố định thuộc họ đường tròn khi $ m $ thay đổi tùy ý.
Đáp án:
Đáp số:
$M_1=(2-\sqrt{29};\dfrac{\sqrt{29}-2}{2})=(-3,385164807;1,692582404);$
$M_2=(2+\sqrt{29};-\dfrac{2+\sqrt{29}}{2})=(7,385164807;-3,692582404).$
Chi tiết:
Tọa độ điểm cố định phải thỏa phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2(x+2y)=0\\x^2+y^2-2x-5=0\end{array}\right.$
Giải phương trình này ta có được $ 2$ điểm cố định là:
$M_1=(2-\sqrt{29};\dfrac{\sqrt{29}-2}{2})=(-3,385164807;1,692582404);$
$M_2=(2+\sqrt{29};-\dfrac{2+\sqrt{29}}{2})=(7,385164807;-3,692582404).$
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
#11
Đã gửi 06-12-2007 - 13:29
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x)=sin^6x-2cos^6x+8sin^4x+cos^4x+2sin^2x+12cosx-2 \forall x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$.
Đáp án:
Đáp số: $max f(x) =f(0,8959425389)=10,81230124$
$min f(x)=f(0)=f(\dfrac{\pi}{2})=9.$
Chi tiết:
Đặt $y=sin^2x$ $(0 \leq y \leq 1).$
$\Rightarrow f(y)=3y^3+3y^2+6y+12\sqrt{1-y}-3$.
$\Rightarrow f'(y)=9y^2+6y+6-\dfrac{6}{2\sqrt{1-y}}=9y^2+6y+6(1-\dfrac{1}{\sqrt{1-y}})$
$=9y^2+6y+6(\dfrac{\sqrt{1-y}-1}{\sqrt{1-y}})=9y^2+6y+6-\dfrac{y}{(\sqrt{1-y}+1)\sqrt{1-y}}$
Đặt $z=\sqrt{1-y}$ $(0 \leq z < 1 )$
$\Rightarrow f'(y)=y(-9z^2+15-\dfrac{6}{z^2+z})$
$\Rightarrow f'(y)=0 \Leftrightarrow y=0 V -9z^2+15-\dfrac{6}{z^2+z}=0$
$\Leftrightarrow 3z^4+3z^3-5z^2-5z+2=0$
Xét đạo hàm của $f(z)$ với $f(z)=3z^4+3z^3-5z^2-5z+2$
Ta suy ra $f(z)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.(Bạn tự chứng minh!)
Ta tìm được:$ z_1=0,3225793873; z_2=1,187435739$ (loại).
Vậy phương trình $f'(y)=0$ có hai nghiệm: $y_1=0; y_2=0,8959425389$.
Ta có $f(y)=3y^3+3y^2+6y+12\sqrt{1-y}-3$
Suy ra: $f(0)=9; f(0,8959425389)=10,81230124; f(1)=9.$
Từ đây ta đi đến kết quả bài toán.
Nguyễn Đức Tuấn 11T THPT TX Cao Lãnh.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh