Mình xin pót lại ĐỀ THI HSG VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2007-2008 TỈNH ĐỒNG THÁP ở đây nha, các bạn cùng thảo luận.
(Chú ý không cho sử dụng bất kì loại máy tính nào?!)
Bài 1:
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho pt $x^2+(m^2-m)x-m^3+1=0$ có 1 nghiệm nguyên.
b) Giải bất phương trình $sqrt{(log_2(\sqrt2-1)^x+3)^2}+\sqrt{(1-log_2(\sqrt2+1)^x)^2} \geq 2$
Bài 2:
a) Giải phương trình $4sin^25x-4sin^2x+2(sin6x+sin4x)+1=0$
b) Cho các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn $sin^2x_1+2sin^2x_2+...+nsin^2x_n=a$, với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước, $0 \leq a \leq \dfrac{n(n+1)}{2} $. Xác định các giá trị của $x_1,x_2,...,x_n $sao cho tổng $S=sin2x_1+2sin2x_2+...+nsin2x_n$ đạt GTLN và tìm GTLN này theo a và n.
Bài 3:
a)Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\dfrac{1}{a^6(b^2+c^2)}+\dfrac{1}{b^6(c^2+a^2)}+\dfrac{1}{c^6(a^2+b^2)} \geq \dfrac{3}{2}$
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$\dfrac{cotA(cotA+2cotB)}{2cot(\dfrac{A+B}{2})+cotB}=2.cot(\dfrac{A+B}{2})-cotB$
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.
Bài 4: Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A',B',C' sao cho AA',BB',CC' đ?#8220;ng qui tai điểm M. Goi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích của các tam giác $MBC,MCA,MAB $và đặt $\dfrac{MA'}{MA}=x$, $\dfrac{MB'}{MB}=y$ , $\dfrac{MC'}{MC}=z.$
Chứng minh rằng: $(z+y-1).S_1+(x+z-1).S_2+(x+y-1).S_3=0$.
Bài 5: Cho dãy ${U_n}, n$ là số nguyên dương, xác định như sau: $U_1=1$,
$U_(n+1)=\dfrac{\sqrt{1+U_n^2}-1}{U_n} $và $U_n>0.$
a) Tính số hạng tổng quát $U_n.$
b) Chứng minh rằng: $U_1+U_2+...+U_n \geq 1+\dfrac{\pi}{4}.[1-\dfrac{1}{2^{n-1}}]$
Bài 6: Cho đa thức $f(x)=x^3+ax^2+bx+b$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ và đa thức $g(x)=x^3+bx^2+bx+a$. Tính tổng : $S= g(x_1)+g(x_2)+g(x_3)$ theo a,b.
(Nguyễn Đức Tuấn 11T - THPT TX CL)
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???
