Bải 1 thì làm như trênMình xin pót lại ĐỀ THI HSG VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2007-2008 TỈNH ĐỒNG THÁP ở đây nha, các bạn cùng thảo luận.
(Chú ý không cho sử dụng bất kì loại máy tính nào?!)
Bài 1:
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho pt $x^2+(m^2-m)x-m^3+1=0$ có 1 nghiệm nguyên.
b) Giải bất phương trình $sqrt{(log_2(\sqrt2-1)^x+3)^2}+\sqrt{(1-log_2(\sqrt2+1)^x)^2} \geq 2$
Bài 2:
a) Giải phương trình $4sin^25x-4sin^2x+2(sin6x+sin4x)+1=0$
b) Cho các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn $sin^2x_1+2sin^2x_2+...+nsin^2x_n=a$, với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước, $0 \leq a \leq \dfrac{n(n+1)}{2} $. Xác định các giá trị của $x_1,x_2,...,x_n $sao cho tổng $S=sin2x_1+2sin2x_2+...+nsin2x_n$ đạt GTLN và tìm GTLN này theo a và n.
Bài 3:
a)Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\dfrac{1}{a^6(b^2+c^2)}+\dfrac{1}{b^6(c^2+a^2)}+\dfrac{1}{c^6(a^2+b^2)} \geq \dfrac{3}{2}$
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$\dfrac{cotA(cotA+2cotB)}{2cot(\dfrac{A+B}{2})+cotB}=2.cot(\dfrac{A+B}{2})-cotB$
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.
Bài 4: Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A',B',C' sao cho AA',BB',CC' đ?#8220;ng qui tai điểm M. Goi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích của các tam giác $MBC,MCA,MAB $và đặt $\dfrac{MA'}{MA}=x$, $\dfrac{MB'}{MB}=y$ , $\dfrac{MC'}{MC}=z.$
Chứng minh rằng: $(z+y-1).S_1+(x+z-1).S_2+(x+y-1).S_3=0$.
Bài 5: Cho dãy ${U_n}, n$ là số nguyên dương, xác định như sau: $U_1=1$,
$U_(n+1)=\dfrac{\sqrt{1+U_n^2}-1}{U_n} $và $U_n>0.$
a) Tính số hạng tổng quát $U_n.$
b) Chứng minh rằng: $U_1+U_2+...+U_n \geq 1+\dfrac{\pi}{4}.[1-\dfrac{1}{2^{n-1}}]$
Bài 6: Cho đa thức $f(x)=x^3+ax^2+bx+b$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ và đa thức $g(x)=x^3+bx^2+bx+a$. Tính tổng : $S= g(x_1)+g(x_2)+g(x_3)$ theo a,b.
(Nguyễn Đức Tuấn 11T - THPT TX CL)
Bài 2 ta chỉ cần để ý rằng $sin^2 5x-sin^2 x =sin4x sin6x$
thay vào đề bài thì ta dc (2sin4x+1)(2sin6x+1)=0 đến đây thì giải phương trình lượng giác cơ bản
b) để ý rằng $ \sum icos^2 x_i= \dfrac{n(n+1)}{2}-a $ áp dụng bất đẳng thức BCS ta có max=$ \sqrt{2a(n^2+n-2a} $
Câu 3a thì quá quen thuộc rùi đặt x=$ \dfrac{1}{a^2} $ tương tự là okie
b)Chỉ cần chứng minh bất đẳng thức cotA+cotB$ \geq 2tan \dfrac{C}{2} $
Bài 6 thì dùng hệ thức viét là ra thui