Chủ đề này có 9 trả lời

[Alexi Laiho]

Tôi mở topic nhân dịp KK nói chuyện về Non-commutative geometry. Bài đầu tôi hy vọng có thể give được 1 introduction về algberaic Stacks, sau đó KK chắc sẽ đưa ra some Groupoids và vật lý toán. Hiện tôi cũng đang có Topo Sem về Higher Topois và derived alg geom. hy vọng sẽ give được some aspects từ phía topo, còn bài mở đầu này là some algebro-geom từ Sem Brauer Groups and Artin Stacks.

Let $G$ be an algebraic group, $X \in \underline{Schm}$ be a scheme, we define the classifying space for G-torsors by

$Mor(X,BG)= \{\text{G-torsors on X \}/ \simeq$.

From the viewpoint of algebraic topology you can take:

$[X,BG]/\text{homotopy} = \{\text{G-bundles}\}/\simeq$.

Let $\underline{BG}: \underline{Schm} \rightarrow \text{Groupoid}, \quad X \rightarrow \{\text{G-Torsors},\simeq\}$, by groupoid i will mean a small category where all arrow are Iso.

$\underline{BG}(X)$ is category with obj = G-torsors, mor = Iso.

Def of stack: that is a 2-funtor $\mathcal{M}$ from Schemes to Groupoids (= 2-Cat), s.t. $\mathcal{M}(S)$ is groupoid.

The 2-functor takes Morphism/schm ( S---> T) ----> ($\mathcal{M}(T) \rightarrow \mathcal{M}(S), \quad \mathcal{M}(f) = f^*$ (induced map by BG).

The composition of Morphism/schm (S--f-->T---g-->W) -----> f* g* => (gf)*. That will give us 2-Morphisms between Morphisms.

Obj ---> 1-Morph ----> 2-Morph. Groupoid -----> Functor ----> natural Transformation of Funct.

Examples: Ví dụ điển hình nhất từ topo là take {Top Spaces}, continous maps and Homotopy. (tổng quát lên là \infty-category, which is extrem interesting obj. from higher topois).

some geom: Schemes define Stacks, which means the glueding property of objects.

Take the analogy to Yoneda ---> you will get somehow morphisms between stacks $F: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{N}$. We call F representable iff for all X scheme or algebraic Space (in sense of Artin) you have:

$\mathcal{M} \times_{\mathcal{N}} X \rightarrow X $ is a morph of Schm or alg Sp. (in sense of Artin).

Def: We call M an Artin stack <=> first: Diagonal: M ---> M x M is representable, quasi-compact and separated.

second: tồn tại 1 atlas Y ---> M smooth and surjective.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 20-11-2007 - 09:07

[Alexi Laiho]

Ps: i dont know much about differentiable stacks - Lie groupoid from the view-point of differential geometry. Some people đang working về nó (Ping Xu / Behrend Kai : Differentiable Stacks and Gerbes). Next post tôi hy vọng có thể nói something về G-Gerbes. (just from formal view-point). Đây là điểm thú vị, mà hy vọng KK sẽ cho chúng ta thấy được cụ thể từ phía hình học vi phân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 20-11-2007 - 09:30

[Alexi Laiho]

Các chuyên gia về Topo đại số, hình vi phân đâu hết rồi? let me just remind là chúng ta đã từng có topic on 1 định lý của Brown về hàm tử khả diễn trong HoTop, do anh TLCT mở ra. I've given the well-known proof của định lý này, chúng ta cũng saw rằng thực chất the idea for such formal abstract proof chính là stacks.

Recall rằng chúng ta có tới 3 cách xây dựng BG, namely Milnor construction, bundles theory, Lie groups. But i prefer bundles. In fact we can understand BU, BO, BSpin, BSp. Có lần nào đó we have some discuss on BU and their cohomology với anh Trần Ngọc Nam trên diễn đàn này.

From the viewpoint of complex oriented Bordisms, người ta thực chất áp dụng 1 cách brutal commutative algebra, namely injective resolution vào các classifying spaces, sau đó dùng Adams-Novikov Spectral Sequences như 1 kiểu brutal diagramm chasing. From complex analysis, namely elliptic modular form, người ta associates Bordism invariant ring với dạng modular (take a look in the book of Hirzebruch for more details). Ứng mỗi đường cong elliptic ta sẽ có 1 complex oriented (generalized) cohomology theory E*, which should give you the elliptic cohomology.

However i still dont understand {modular forms}<----->{higher Topos}.

[Kakalotta]

Bớ anh TLCT đâu rồi. Ạnh tự nhận mình là đệ tử cưng theo đường của Grothendieck, anh vào đây chỉ cho bọn em vài đường về Artin stack với để bọn em học tập. Em đang cần cái này để làm giải tích hàm.
Hôm nay cãi nhau với bạn gái mệt hết cả người, hôm sau vào thảo luận sau. Chờ anh TLCT đã.

[motivic_cohomology]

Hôm nọ mới làm cái báo cáo về Picard functor, nên tiện tay post lại cái. We will follow Mumford (GIT). In fact, to deal with Picard functor one should need Artin stacks. This small talk sẽ clarify this point.

First of all i will recall some basic facts from complex analysis. Let $(X,\mathcal{O}_X)$ be a analytical space (or Scheme if you want), here we will not need that X must be reduced. Let Pic(X) be the group of invertible sheaves modulo Iso. $Pic(X) \simeq H^1(X,\mathcal{O}_X^{\times})$.

To see that, one use Cech cohomology for exponential sequence and keep in mind that $H^1_{Cech} \simeq H^1$ với mọi topological spaces. 1 định lý của Grothendieck-Serre tells us that: firt: $H^1(X,\mathbb{R}) \rightarrow H^1(X,\mathcal{O}_X)$ is injective and second:

$H^1(X,\mathbb{Z}) \rightarrow H^1(X,\mathcal{O}_X)$ is a discret subgroup.

To prove this one reduces to the case that $(X,\mathcal{O}_X)$ is reduced analytical space, i.e. no nilpotent elements. By using the following định lý, you will see nhóm Picard là 1 nhóm Lie phức:

Định lý: Let $\omega \in H^1(X,d \mathcal{O}_X)$ such that $\int_{\gamma} \omega = 0$ for all homology class $\gamma \in H_1(X,\mathbb{R})$, then $Im ( H^1(X, \mathbb{R}) \rightarrow H^1(X,\mathbb{C}) \cap H^0(X,d \mathcal{O}_X)) = 0$.

Chứng minh định lý này không khó, lift cohomology class lên universal covering sau đó dùng maximal principle. Now you can see that for the exact sequence $0 \rightarrow H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z}) \rightarrow Pic(X) \rightarrow Ker (H^2(X,\mathbb{Z}) \rightarrow H^2(X,\mathcal{O}_X)) \rightarrow 0$

the quotient $H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z})$ hat complex structure.

We now turn to algebraic geometry. Let $X \in \underline{Schm}/S$ be a sheme over S base. We define the Picard functor as:

$\underline{Pic}_{X/S}: \underline{Schm}/S \rightarrow \text{Group}, \quad T \rightarrow H^0(X_T, R^1f_{T \times}(\mathcal{O}_{X_T}^{\times})$.

Hàm tử Picard được gọi là khả diễn nếu tồn tại 1 S-scheme $\mathcal{P}ic_{X/S}$ such that $\underline{Pic}_{X/S}(-) \simeq Hom_S(-,\mathcal{P}ic_{X/S})$.

Chú ý rằng nếu ta xét lược đồ over 1 non-algebraic closed field thì hàm tử Picard rất có thể không thể biểu diễn được, phản ví dụ là Brauer-Severi-variety.

Theorem sau due to Grothendieck: Cho cấu xạ cấu trúc $f: X \rightarrow S$. Nếu:
(a) f địa phương có 1 lát cắt.
(b) f là xạ ảnh và phẳng
( c ) S là noetherian
(d) Thớ hình học của f là nguyên.
Vậy thì hàm tử Picard là khả diễn. Chứng minh: FGA.

Theorem của Grothendieck đúng cả cho trường hợp cấu xạ cấu trúc proper. Tuy nhiên trong trường hợp này không tồn tại Scheme biểu diễn hàm tử, mà người ta phải dùng tới Artin Stacks or algebraic Spaces (if you want). In fact, one must replace $Pic(X) \simeq H^1(X_{et},\mathbb{G}_m)$.

The original idea for the next step xuất phát từ Grothendieck, one try to understand $H^2(X_{et},\mathcal{G})$ for non-abelian group sheaves, ví dụ như xuất phát từ lý thuyết nhóm say $PGL_n$. Điều này dẫn tới việc nghiên cứu Brauer groups và G-gerbes. But in my small talk i cannot say anything about it.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi motivic_cohomology: 03-12-2007 - 11:36

[etale_cohomology]

Này motivic_cohomology có thể give us 1 introduction về Nisnevich Sheaves có được không? In fact, let us discuss về Lecture note của Voevodsky và Weibel đi. I am interessted in motivic 0-Chow groups. Cái Picard functor của motivic_cohomology nói có thể make difficultly hơn nữa, chẳng hạn A^1-topology, we get here relative Picard, nhưng chúng ta phải kết hợp nội lực với nhau để understand etale motivic theory. So my next post sẽ bằng đầu bằng Correspondence, maybe vài ví dụ về specialization của motives.

[l-adic_cohomology]

À, chắc etale_cohomology uses motivic 0-Chow group để read off rational points hả. Vậy thì lại đụng hàng rồi, i can tell you about Grothendieck trace formula on l-adic cohomology. Trò này bắt đầu vui rồi đấy.

[Alexi Laiho]

Hic cái gì thế này, 1 họ các cohomology theories tấn công diễn đàn à? Lâu không thấy quantum-cohomology vào để cho nó đủ bộ nốt. Anyway you are welcome. Cohomology rules!!!

[etale_cohomology]

Informal introduction: What we want to do is to understand algebraic topology in algebraic geometry. Let us fix some categories $\underline{Schm}/k$, where k any field. It is difficult to say about homotopy in this category, e.g. you can not say about the dimension of the loop over C. The idea of $\mathbb{A}^1$-homotopy is that one replaces $I$ by $\mathbb{A}^1$, which maybe due to Voevodsky(?? not sure).

However before sự ra đời của this homotopy theory, one has constructed the so called motivic cohomology theory, which was first formulated by Beilinson. For more geometric context one should take a look on the excellent book of Bloch: lecture on algebraic cycles. For the basic facts on classical Chow groups (for me Chow groups will mean modulo rational equivalence) one can see in Fulton, Intersection theory, or better SGA 6. The reader should be familiar with algebraic K-theory (Milnor/Quillen), Weibel is a good book. We will always follow Voevodsky and Weibel.

Denote $\mathbb{Z}(n)$ the complex of sheaves on Zariski topology on $\underline{Schm}/k$. By sheaves i will mean some contravariant functor on $\mathcal{C}ov(X) \rightarrow \underline{Ens}$. Recall that a site T is a category with Grothendieck Topology (or Pre-topology if you like). We can list some properties of $\mathbb{Z}(n)$ as the following:

(1) $\mathbb{Z}(0) = \underline{\mathbb{Z}}_X$ the constant sheaf.

(2) $\mathbb{Z}(1) = \mathcal{O}^{\times}_X$.

(3) For some extension $K/k$ one has $H^n(Spec(K),\mathbb{Z}(n)) = K_n^{milnor}(K)$.

(4) If $X/k$ smooth, then $H^{2n}_{Zar}(X,\mathbb{Z}(n)) \simeq CH^n(X)$.

(5) If $X/k$ smooth, then $E_2^{pq} = H^p(X_{Zar},\mathbb{Z}(q))$, where the differential converges to the Quillen K-groups.

This Hypercohomology theory $\mathbb{H}^i_{Zar}(X,\mathbb{Z}(n))$ is called motivic cohomology theory which we denote by $H^i_{Mot}(X,\mathbb{Z}(n))$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etale_cohomology: 04-12-2007 - 00:00

[Alexi Laiho]

Hôm nay ghé qua Blog anh TLCT chơi, tiện tay click vào xem luôn Website của anh ý, thấy Indiana Uni có Azumaya ngồi ở đó mặc dù là Professor Emeritus. Chính ra anh TLCT nên nhẩy vào ông này học 1 ít Azumaya algebra rồi vòng lại về hình học luyện Artin Stacks thì kiểu gì cũng thành cao thủ.

Nhân tiện đây thảo luận tiếp tí về Artin Stacks/Brauer groups. Gọi $(R,\mathfrak{m})$ là 1 local ring. 1 đại số A trên R được gọi là Azumaya nếu nó là 1 R-module tự do of finite rank và $A \otimes_R A^{op} \rightarrow End_R(A), \quad a \times a' \rightarrow (x \rightarrow a x a')$ là 1 isomorphism. Cho $X \in \underline{Schm}/k$. 1 $\mathcal{O}_X$-algebra được gọi là Azumaya nếu nó hữu hạn sinh và stalk của nó là 1 Azumaya đại số trên vành địa phương $\mathcal{O}_{X,x}$.

Theo Noether thì việc cho trước 1 Azumaya Algebra / X (scheme) tương đương với 1 PGL_n-bundle / X, cũng như 1 $\mathbb{P}^{n-1}$-bundle / X, bởi vậy 1 Azumaya algebra of rank $n^2$ over X được phân loại bởi $H^1(X_{et},PGL_n)$.

Tương tự như trong đại số kết hợp, người ta cũng định nghĩa được nhóm Brauer của 1 lược đồ $Br(X)$, 2 đại số Azumaya / X được gọi là đồng dạng nếu tồn tại phân thớ $\mathcal{E}, \mathcal{F}$ sao cho $\mathcal{A} \otimes \mathcal{E}nd(\mathcal{E}) \simeq \mathcal{B} \otimes \mathcal{E}nd(\mathcal{F})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 27-12-2007 - 08:13