Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long 2007-2008


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Tuanbm

Tuanbm

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long 2007-2008

Bài 1 (2 điểm): Giải hệ phương trình sau với ẩn số thực x,y:
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{{y^2 }} = 1 \\ \sqrt {x^2 - 1} + \sqrt {y^2 - 1} = \sqrt {xy + 2} \\ \end{array} \right.$
Bài 2 (2 điểm): Cho tam giác ABC cân tại C, biết $\dfrac{{AC}}{{AB}} = k(0 < k \ne 1)$ . Vẽ các đường phân giác trong CM,AN và BP. CMR: $\dfrac{{S_{\Delta ABC} }}{{S_{\Delta MNP} }} = \left( {\sqrt k + \dfrac{1}{{\sqrt k }}} \right)^2 $
Bài 3 (1 điểm): Tìm chữ số tận cùng của tổng:
$ S = 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 502^{2001} $
Bài 4 (2 điểm):Cho dãy số u(n) xác định bởi:
$\{ \begin{array}{l} u_1 = \sqrt 2 \\ u_n = \sqrt {2 + u_{n - 1} } ;n = 2,3,... \\ \end{array} \right.$
Tìm $\ {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n $
Bài 5 (2 điểm): Tìm hàm số f:$R \to R$ , không đồng nhất 0 thoả mãn phương trình:
f(x).f(y)=f(x-y);
Bài 6 (1 điểm).Chứng minh rằng: Trong một tam giác vuông,nếu hai đường trung tuyến thuộc hai cạnh góc vuông cắt nhau theo một góc nhọn$\alpha $ thì $cos \alpha \ge \dfrac{4}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuanbm: 24-11-2007 - 19:57


#2
phandung

phandung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 252 Bài viết

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long 2007-2008

Bài 1 (2 điểm): Giải hệ phương trình sau với ẩn số thực x,y:
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{{y^2 }} = 1 \\ \sqrt {x^2 - 1} + \sqrt {y^2 - 1} = \sqrt {xy + 2} \\ \end{array} \right.$
Bài 2 (2 điểm): Cho tam giác ABC cân tại C, biết $\dfrac{{AC}}{{AB}} = k(0 < k \ne 1)$ . Vẽ các đường phân giác trong CM,AN và BP. CMR: $\dfrac{{S_{\Delta ABC} }}{{S_{\Delta MNP} }} = \left( {\sqrt k + \dfrac{1}{{\sqrt k }}} \right)^2 $
Bài 3 (1 điểm): Tìm chữ số tận cùng của tổng:
$ S = 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 502^{2001} $
Bài 4 (2 điểm):Cho dãy số u(n) xác định bởi:
$\{ \begin{array}{l} u_1 = \sqrt 2 \\ u_n = \sqrt {2 + u_{n - 1} } ;n = 2,3,... \\ \end{array} \right.$
Tìm $\ {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n $
Bài 5 (2 điểm): Tìm hàm số f:$R \to R$ , không đồng nhất 0 thoả mãn phương trình:
f(x).f(y)=f(x-y);
Bài 6 (1 điểm).Chứng minh rằng: Trong một tam giác vuông,nếu hai đường trung tuyến thuộc hai cạnh góc vuông cắt nhau theo một góc nhọn$\alpha $ thì $cos \alpha \ge \dfrac{4}{5}$

Bài 1.4.6 có lẽ là thôi nhỉ .Chỉ cần tính toán cẩn thận là ra thui
Bài 3 Ta chứng minh bổ đề sau cho n là số nguyên dương khi đó ta có $n^{4k+1} \equiv n(mod10) ${chứng minh dễ dàng}
Áp dụng vào bài toán ta có $S \equiv 2(mod10)$
Bài 4 Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được dãy $U_n$ là dãy đơn điệu tăng và $U_n \in (0,2)$ với mọi n
Như vậy thì tồn tại lim$U_n$ đặt $limU_n=a$ Tính được a=2
Bài 5
cho x=y thì $f^2(x)=f(o)$ với mọi x
Cho y=0 thì $f(x)=f(0)f(x)$ vơi mọi x và f(x) không đồng nhất 0 nên f(0)=1
Suy ra f(x)=1 hoặc f(x)=-1 (loại )
Hay f(x)=1 thử lại thỏa mãn
@:Đề này là chọn học sinh giỏi của tỉnh hay là chon đôi tuyên vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phandung: 25-11-2007 - 00:25


#3
MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
Còn bài hình ah`
Nhiều cách lắm nhưng dùng tọa độ cho đẹp
Ta có $ \dfrac{CA}{BA}=k=\dfrac{CB}{AB} $
=> $ P=\dfrac{1}{1+k}C+\dfrac{k}{k+1}A $ ; $ N=\dfrac{1}{1+k}C+\dfrac{k}{k+1}B $
$ M = \dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2} $
=> $ [MNP] = \dfrac{k.1.1+k.1.1}{2.(k+1)^2}[ABC]= \dfrac{k}{(k+1)^2}[ABC] => \dfrac{[ABC]}{[MNP]} = \dfrac{(k+1)^2}{k}= (\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k}})^2 $

#4
Tuanbm

Tuanbm

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
Vậy các bạn giúp mình giải bài 6 với

#5
Lemoine

Lemoine

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Vậy các bạn giúp mình giải bài 6 với

Bài 6 cũng ngắn thôi bạn ạ
Gọi tam giác đó là :D ABC vuông ở A . Trung tuyến BE , CF cắt nhau tại trọng tâm G . :widehat{BGF} = :in . Kí hiệu [ABC] là diện tích tam giác ABC
Ta có : [ABC]=3[BGC] suy ra AB.AC=3BG.GC.sin :pi =
:frac{4}{3} .BE.CF.sin:alpha
Mặt khác (BE.CF)^{2}=(AB^{2}+( :frac{AC}{2} )^{2})((:frac{AB}{2}+AC{2}) :pi
:frac{25}{16}(AB.AC)^{2} suy ra BE.CF :pi :frac{5}{4}AB.AC
suy ra sin:alpha :Rightarrow :frac{3}{5} từ đó suy ra cos:alpha :Rightarrow :frac{4}{5}
mình không go được bạn thông cảm nhưng nói chung là dùng bdt thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemoine: 28-11-2007 - 01:05


#6
kiemkhachvotinh

kiemkhachvotinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
Bài 1 đặt $\dfrac{1}{x}=cosu $ta được $\dfrac{1}{y}=sinu $từ đó dễ dàng làm tiếp
chủ nhiệm

luan





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh