Chủ đề này có 1 trả lời

[anhhoang]

1) cho E Banach. Các khẳng định sau đúng hay sai:
a) Nhân của mọi toán tử T L(E,E) là đóng yếu.
b) Nếu E''=E'''' (bởi J) thì E phản xạ
c) Trong l1, topô yếu trùng tôp mạnh
d)Trong E', E phản xạ: hội tụ yếu = hội tụ mạnh
e) hàm x -> ||x|| (từ E vào R) liên tục từ topo yếu đến topô mạnh
2)CMR tôp yếu (X,X') trên X trùng với tôp cảm sinh trên X bới topô yếu * (X'',X') trên X''.
Bác nào cm duoc phần nào thì cứ pót lên nhé.
thanks

[pnt]

Các câu a, b đúng; c, d, e sai.

Chứng minh:

a) Vì T tuyến tính liên tục nên kerT đóng trong topo mạnh. Mà kerT là không gian con của E nên là tập lồi. Vậy kerT cũng đóng trong topo yếu.

b) Xuất phát từ tính chất sau : X phản xạ khi và chỉ khi X' phản xạ.
Vì E'' phản xạ nên E' phản xạ, từ đó E phản xạ.

c) $l^1$ là không gian vô hạn chiều với cơ sở $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ với $f_i(j)=\delta_{ij}$ (ký hiệu Kronecker). Do đó một tập mở chứa 0 trong topo yếu phải chứa một đường thẳng đi qua 0. Như vậy quả cầu mở trong $l^1$ không mở trong topo yếu.

d) Lấy E là không gian Hilbert khả ly. Khi đó E' = E. Gọi $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ của E. Dãy $(e_n)$ hội tụ yếu về 0 nhưng không hội tụ mạnh.

e) Lấy E là không gian như ở câu d. Ta có $e_n\rightharpoonup 0$ nhưng $||e_n||=1$.